pytyony已知Π/4=1-1/3+1/5-1/7+...,求Π的近似值。要求分母大于10000则结束，用函数完成

在Python中，我们可以编写一个函数来计算Pi（π）的近似值，利用Leibniz公式，它是一个无穷级数，当分母足够大时，结果会越来越接近真实值。下面是一个函数的实现：

def pi_approximation(n_terms=10000):
    """
    利用Leibniz公式计算Pi的近似值，直到达到指定的项数或分母超过10000
    :param n_terms: 要使用的项数，默认为10000
    :return: Pi的近似值
    """
    def pi_term(k):
        denominator = 2 * k + 1
        return (-1) ** (k + 1) / denominator

    pi_sum = 0
    k = 0
    while True:
        term = pi_term(k)
        if denominator > 10000:
            break
        pi_sum += term
        k += 1
    
    return 4 * pi_sum

# 计算并打印Pi的近似值
approx_pi = pi_approximation()
print(f"Pi的近似值（到分母大于10000为止）: {approx_pi}")

相关问题

用c语言编出用自适应积分方法数值求积的子程序，要求如下：已知f1(x)=√x,f2(x)=1/(1+x).f3(x)=2/(2+sin10Π),[a,b]=[0,1]，计算fi(x)(i=1,2,3)和a，b的数值积分的近似值，(取ε=10-6）

以下是用C语言编写的自适应积分方法数值求积的子程序，可以计算f1(x), f2(x)和f3(x)在区间[0, 1]上的数值积分近似值：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define EPS 1.0e-6

double f1(double x) {
    return sqrt(x);
}

double f2(double x) {
    return 1.0 / (1.0 + x);
}

double f3(double x) {
    return 2.0 / (2.0 + sin(10.0 * M_PI * x));
}

double adapt_integrate(double (*f)(double), double a, double b, double eps, double A) {
    double c = (a + b) / 2.0;
    double fa = f(a);
    double fb = f(b);
    double fc = f(c);
    double S = (b - a) * (fa + 4.0 * fc + fb) / 6.0;
    double T = (b - a) * (fa + 4.0 * f((a + c) / 2.0) + 2.0 * fc + 4.0 * f((c + b) / 2.0) + fb) / 12.0;
    if (fabs(T - S) <= eps) {
        return T + (T - S) / 15.0;
    } else {
        return adapt_integrate(f, a, c, eps / 2.0, S) + adapt_integrate(f, c, b, eps / 2.0, T);
    }
}

int main() {
    double a = 0.0, b = 1.0;
    double eps = EPS;
    double A1 = adapt_integrate(f1, a, b, eps, 0.0);
    double A2 = adapt_integrate(f2, a, b, eps, 0.0);
    double A3 = adapt_integrate(f3, a, b, eps, 0.0);
    printf("f1(x)在[%g, %g]上的数值积分近似值为：%g\n", a, b, A1);
    printf("f2(x)在[%g, %g]上的数值积分近似值为：%g\n", a, b, A2);
    printf("f3(x)在[%g, %g]上的数值积分近似值为：%g\n", a, b, A3);
    return 0;
}

程序中，`adapt_integrate`是自适应积分方法的实现，其中`f`是被积函数，`a`和`b`是积分区间的端点，`eps`是所需精度，`A`是上一个递归层次的积分值。`f1`、`f2`和`f3`分别是题目中给出的三个函数，`main`函数中分别调用了`adapt_integrate`计算三个函数在[0, 1]上的数值积分近似值，并输出结果。

需要注意的是，由于自适应积分方法的递归特性，当所需精度较高时，程序可能会递归调用很多次，导致栈溢出。为了避免这种情况，可以将`adapt_integrate`改为非递归实现，或者使用尾递归优化。

生成q(t,m)=qmax sin2Πft）dirac(m) H(1/2f-t)的傅里叶变换代码

生成给定信号 q(t, m) = q_max * sin(2πf * t) * Dirac delta 函数(dirac(m)) * Heaviside 函数(H(1/2f - t)) 的傅立叶变换的代码通常涉及离散傅立叶变换（DFT），因为在实际计算中我们常常处理的是离散时间序列。这里涉及到一些关键组件：

1. **信号定义**：信号是频率 f 的正弦波，并且在每个采样点 m 只有在特定时刻 (t = 1/(2f)) 才有效。

2. **Dirac delta 函数**：这是一个理想脉冲函数，表示在某个时间点 m 上的突然跳变，但在其他地方为0。在离散情况下，可以理解为只有在 m 点非零。

3. **Heaviside 函数**：它是一个阶跃函数，使得信号在 t > 1/(2f) 之后变为0。

考虑到这些因素，以下是一个基本的 Python 示例，使用numpy库中的fft函数计算这个信号的离散傅立叶变换（假设 `q_max` 和 `N` 已知，N代表采样点数）：

import numpy as np

# 定义参数
q_max = ... # 最大幅度
f = ...     # 频率
T = 1      # 采样周期或间隔
N = int(T * f)  # 根据采样频率计算总样本数

# 创建时间数组
t = np.linspace(0, T, N, endpoint=False)

# 实现Dirac delta和Heaviside函数的近似
dirac_mask = np.zeros(N)
dirac_mask[int(f*N)] = 1   # 将Dirac delta设在m位置（由于N=f*T）

heaviside_mask = np.where(t <= 1/(2*f), 1, 0)  # Heaviside函数

# 构造原始信号
signal = q_max * np.sin(2*np.pi*t*f) * dirac_mask * heaviside_mask

# 计算离散傅立叶变换
fft_signal = np.fft.fft(signal)

# 结果可能会包含负频部分，如果你只关心正频，则取实部
fft_signal = fft_signal.real if len(fft_signal) % 2 == 0 else (fft_signal + np.conj(fft_signal[::-1])) / 2

print("Discrete Fourier Transform of the signal:")
print(fft_signal)

注意：这个例子假设了`dirac_mask`的创建是正确的，因为离散的Dirac delta函数实际上是一个非常稀疏的向量，通常使用特定索引来表示其非零值。上述代码仅提供了一个基础框架，实际应用中可能需要根据具体条件调整细节。