用c++编程求解椭圆曲线上的点集

要求解椭圆曲线上的点集，首先需要定义椭圆曲线的参数，包括有限域Fp上的参数p、a、b和椭圆曲线上的基点G的坐标(x,y)。然后采用椭圆曲线上的加法运算，循环计算椭圆曲线上所有可能的点，直到出现无穷远点为止。

以下是一个简单的C++程序，可以实现求解椭圆曲线上的点集：

#include <iostream>
#include <gmpxx.h> //需要引入gmp库

using namespace std;

const mpz_class p("0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F"); //有限域Fp上的参数p
const mpz_class a("0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2C"); //椭圆曲线参数a
const mpz_class b("0x0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003"); //椭圆曲线参数b
const mpz_class x("0x6B17D1F2E12C4247F8BCE6E563A440F277037D812DEB33A0F4A13945D898C296"); //基点G的x坐标
const mpz_class y("0x4FE342E2FE1A7F9B8EE7EB4A7C0F9E162BCE33576B315ECECBB6406837BF51F5"); //基点G的y坐标

mpz_class mod_inverse(mpz_class a, mpz_class n) //求逆元函数
{
    mpz_class x, y, gcd;
    mpz_gcdext(gcd.get_mpz_t(), x.get_mpz_t(), y.get_mpz_t(), a.get_mpz_t(), n.get_mpz_t()); //使用gmp库中的扩展欧几里得算法求逆元
    if (gcd != 1) return 0;
    else return (x % n + n) % n;
}

class Point //定义椭圆曲线上的点类
{
public:
    mpz_class x, y;
    Point() {}
    Point(mpz_class _x, mpz_class _y) { x = _x; y = _y; }
};

Point operator +(Point p1, Point p2) //椭圆曲线上的加法运算
{
    Point p;
    mpz_class lambda;

    if (p1.x == p2.x && p1.y == p2.y) //点p1与点p2相等，即点p1为自己的相反点
    {
        mpz_class inv = mod_inverse(2 * p1.y, p); //求逆元
        if (inv == 0) return Point(0, 0); //不存在逆元
        lambda = (3 * p1.x * p1.x + a) * inv; //计算斜率
    }
    else //点p1与点p2不相等
    {
        mpz_class inv = mod_inverse(p2.x - p1.x, p); //求逆元
        if (inv == 0) return Point(0, 0); //不存在逆元
        lambda = (p2.y - p1.y) * inv; //计算斜率
    }

    p.x = (lambda * lambda - p1.x - p2.x) % p; //计算新点的x坐标
    p.y = (lambda * (p1.x - p.x) - p1.y) % p; //计算新点的y坐标

    return p;
}

int main()
{
    Point G(x, y), P = G; //定义基点G和当前点P

    cout << "椭圆曲线上的点为：" << endl;
    cout << "(" << G.x << ", " << G.y << ")" << endl; //输出基点G

    for (int i = 1; i < 16; i++) //循环计算椭圆曲线上的点
    {
        P = P + G; //点加运算
        cout << "(" << P.x << ", " << P.y << ")" << endl; //输出当前点P
    }

    return 0;
}

该程序中，使用了gmp库中的mpz_class类，可以处理任意大小的整数。定义了椭圆曲线上的点类Point，以及椭圆曲线上的加法运算，使用循环计算椭圆曲线上的所有点。