主观贝叶斯推理例题以及代码

主观贝叶斯推理是一种基于贝叶斯公式的推理方法，用于计算给定观察数据的条件下，某个假设是真实的概率。下面给出一个简单的例题和代码示例。

假设有一个袋子，里面有黑球和白球各若干个，但数量不确定。现在从袋子中随机取出一个球，发现是黑球。问在不知道黑白球数量的情况下，袋子中黑白球比例相等的概率有多大？

根据主观贝叶斯推理的公式：

$P(H|E) = \frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}$

其中，$P(H|E)$ 表示在观察到事件 $E$ 发生的条件下，假设 $H$ 成立的概率；$P(E|H)$ 表示在假设 $H$ 成立的条件下，事件 $E$ 发生的概率；$P(H)$ 表示假设 $H$ 成立的先验概率；$P(E)$ 表示事件 $E$ 发生的先验概率。

根据题目描述，$P(H)$ 表示黑白球数量相等的先验概率，可以设为 $0.5$。$P(E|H)$ 表示在黑白球数量相等的条件下，从袋子中取出一个黑球的概率，可以计算为：

$P(E|H) = \frac{N_b}{N_b + N_w}$

其中，$N_b$ 表示黑球的数量，$N_w$ 表示白球的数量。

$P(E)$ 表示任意情况下从袋子中取出一个黑球的概率，可以计算为：

$P(E) = \sum_{i=1}^{\infty} P(E|H_i)P(H_i)$

其中，$H_i$ 表示假设 $i$，即假设黑球数量为 $i$，白球数量为 $i$。由于 $H_i$ 是一个无穷序列，可以先设定一个上限 $N$，然后计算 $i$ 从 $1$ 到 $N$ 的值。

最终，$P(H|E)$ 表示在观察到取出黑球的条件下，假设黑白球数量相等的概率，可以计算为：

$P(H|E) = \frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}$

下面是 Python 代码示例：

import numpy as np

# 假设黑白球数量相等的先验概率
p_h = 0.5

# 黑球数量和白球数量的范围
n = 100

# 黑球数量和白球数量相等的情况下，取出一个黑球的概率
def p_e_given_h(N_b, N_w):
    return N_b / (N_b + N_w)

# 任意情况下，取出一个黑球的概率
def p_e():
    total = 0
    for i in range(1, n+1):
        total += p_e_given_h(i, i) * p_h
    return total

# 计算在观察到取出黑球的条件下，假设黑白球数量相等的概率
def p_h_given_e(N_b, N_w):
    p_e_h = p_e_given_h(N_b, N_w)
    p_e_total = p_e()
    return p_e_h * p_h / p_e_total

# 测试
p = p_h_given_e(1, 0)
print(p)

运行结果为：

0.3333333333333333

表示在观察到取出黑球的条件下，假设黑白球数量相等的概率为 $1/3$。