多元函数微分的基本概念详细

多元函数微分是微积分的一个分支，主要研究多元函数的导数、偏导数、全微分等概念和性质。

多元函数的导数

对于函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，如果存在极限

$$
\lim_{\Delta x_i\rightarrow 0}\frac{f(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,\cdots,x_n+\Delta x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}
$$

则称函数 $f$ 在点 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 处可导，并将该极限值称为函数 $f$ 在点 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 处的偏导数，记作

$$
\frac{\partial f}{\partial x_i}
$$

多元函数的全微分

如果函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 处可导，则称函数 $f$ 在该点处可微分，且有

$$
df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n
$$

其中 $dx_i$ 表示 $x_i$ 的无穷小增量。

多元函数的链式法则

对于复合函数 $z=f(x,y),x=g(t),y=h(t)$，则有

$$
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
$$

多元函数的隐函数求导

对于方程 $F(x,y)=0$，如果在点 $(x_0,y_0)$ 处有 $F(x_0,y_0)=0$，且 $\frac{\partial F}{\partial y}\neq 0$，则在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内，方程 $F(x,y)=0$ 可以唯一确定一个函数 $y=f(x)$，且有

$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$

其中 $\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y}$ 分别表示 $F$ 对 $x,y$ 的偏导数。