如何求一个非满秩矩阵的可控gram矩阵？

对于一个非满秩矩阵 $A$，我们可以通过将它与其转置 $A^T$ 相乘得到一个可控 Gram 矩阵。具体来说，Gram 矩阵的定义如下：

$$G = AA^T$$

其中，$A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，$G$ 是 $m \times m$ 的 Gram 矩阵。如果 $A$ 的列向量线性无关，则 $G$ 是可逆的，且可以通过 $A$ 的列向量生成 $\mathbb{R}^m$ 中的所有向量。

如果 $A$ 的列向量线性相关，即 $A$ 不是满秩矩阵，那么它的列空间的维数不足 $m$，不能生成所有 $\mathbb{R}^m$ 中的向量。但是，我们仍然可以通过 $A$ 的列向量生成其列空间的所有向量，也就是说，我们可以通过 $A$ 的列向量生成 Gram 矩阵的列空间。

因此，我们可以通过计算 $AA^T$ 来得到一个非满秩矩阵的可控 Gram 矩阵。

相关问题

在matlab上如何实现求一个非满秩矩阵的可控gram矩阵？

假设我们有一个非满秩矩阵A，其列空间的维度为r，我们想要得到一个可控Gram矩阵G，使得rank(G) = r。

在Matlab中，可以使用以下代码来实现：

% 生成一个随机的非满秩矩阵A
A = randn(5, 3);
r = rank(A);  % 获取矩阵A的秩

% 计算A的列空间的一组基
[V, ~] = qr(A);

% 构造可控Gram矩阵G
G = V(:, 1:r) * V(:, 1:r)';

这里的关键是使用QR分解来计算A的列空间的一组基，这里我们只需要前r个列向量。然后我们使用这些向量构造可控Gram矩阵G，即取这些列向量的外积并相加。最后得到的G的秩就是r。

需要注意的是，如果A的列空间不是可控的，那么就无法构造出可控Gram矩阵G。

matlab求可控Gram矩阵和可观Gram矩阵

在MATLAB中，可以通过`gram`函数求解可控Gram矩阵和可观Gram矩阵。

对于一个线性时不变系统 $G(s)$，其可控Gram矩阵 $P_c$ 和可观Gram矩阵 $P_o$ 分别可以通过下面的代码求解：

% 系统传递函数
G = tf([1 2],[1 3 2]);

% 可控Gram矩阵
P_c = gram(G,'c');

% 可观Gram矩阵
P_o = gram(G,'o');

其中，`tf([1 2],[1 3 2])` 表示的是系统的传递函数 $G(s) = \frac{s+2}{s^2+3s+2}$，`gram(G,'c')` 表示求解可控Gram矩阵，`gram(G,'o')` 表示求解可观Gram矩阵。

求解出来的 $P_c$ 和 $P_o$ 是矩阵形式，可以通过 `size(P_c)` 和 `size(P_o)` 查看其维度大小。