构造一个等式约束优化问题，使得它存在一个局部极小值，但对于任意的a大于0，它的二次罚函数是无限的

构造以下等式约束优化问题：

$\min\limits_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$

subject to:

$g(x) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n - a = 0$

其中，$a > 0$。

这个问题存在一个局部极小值，即当$x$的所有分量都为0时，$f(x)$达到最小值0。但是，对于任意的$a > 0$，它的二次罚函数是无限的。

为了证明这一点，将等式约束$g(x) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n - a = 0$加入拉格朗日函数：

$L(x, \lambda) = f(x) + \lambda g(x) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 + \lambda(x_1 + x_2 + \cdots + x_n - a)$

然后，计算二次罚函数：

$P(x) = \min\limits_{\lambda \ge 0} L(x, \lambda)$

令$x = (0, 0, \cdots, 0)$。此时，$g(x) = -a$，因此$L(x, \lambda) = a\lambda$。由于$\lambda \ge 0$，所以$P(x) = \lim\limits_{\lambda \to \infty} L(x, \lambda) = \infty$。

因此，对于任意的$a > 0$，该等式约束优化问题的二次罚函数是无限的。