e^x在x=0出泰勒展开

在Python中，可以使用泰勒公式来计算\( e^x \)在\( x=0 \)处的泰勒展开。泰勒公式的基本形式是：

\[ e^x = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^n(0)}{n!}x^n + R_n(x) \]

其中，\( f(x) = e^x \)，\( f^{(k)}(0) \)表示\( f \)在\( x=0 \)处的\( k \)阶导数。

以下是使用Python实现这个公式的简单示例[^1]：

def taylor_expansion(x, n):
    def derivatives(f, x, n):
        return [f.diff(x, i).subs(x, 0) for i in range(n+1)]
    
    f = exp(x)
    coefficients = derivatives(f, x, n)
    expansion = sum(coefficients[i] / factorial(i) * x**i for i in range(n+1))
    remainder = (f.series(x, n=n+1))[n+1]
    return expansion, remainder

# 计算e^x在x=0的前3项泰勒展开
x = 0
n = 3
approximation, remainder = taylor_expansion(x, n)
approximation, "Remainder term:", remainder

这段代码定义了一个辅助函数`derivatives`用于计算泰勒展开所需的导数值，然后使用`exp`函数从SymPy库中得到\( e^x \)，接着应用泰勒公式并计算前n项的近似值和余项。运行上述代码，你可以看到\( e^x \)在\( x=0 \)的前几项泰勒展开以及剩余的误差项。