三个绝对值函数相加是凸函数吗
时间: 2024-01-26 07:04:48 浏览: 23
首先,我们需要知道凸函数的定义:如果对于函数 $f$ 的定义域上的任意两个点 $x_1$ 和 $x_2$,以及任意的 $0 \leq \lambda \leq 1$,都有以下不等式成立:
$$
f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)
$$
那么 $f$ 是凸函数。
现在我们来考虑三个绝对值函数相加的函数:
$$
f(x) = |x| + |x-1| + |x+1|
$$
我们可以将其分成三段:
- 当 $x \leq -1$ 时,$f(x) = -3x$
- 当 $-1 \leq x \leq 0$ 时,$f(x) = x+1$
- 当 $x \geq 1$ 时,$f(x) = 3x$
我们可以证明,在每个区间上,$f(x)$ 都是凸函数。因此,对于任意的 $x_1$ 和 $x_2$,以及任意的 $0 \leq \lambda \leq 1$,有:
$$
\begin{aligned}
f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) &= |\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2| + |\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2-1| + |\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2+1| \\
&\leq \lambda |x_1| + (1-\lambda) |x_2| + \lambda |x_1-1| + (1-\lambda) |x_2-1| + \lambda |x_1+1| + (1-\lambda) |x_2+1| \\
&\leq \lambda (|x_1|+|x_1-1|+|x_1+1|) + (1-\lambda) (|x_2|+|x_2-1|+|x_2+1|) \\
&= \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)
\end{aligned}
$$
因此,$f(x)$ 是凸函数。