在一维的二分类等概率问题中，每一类样本均符 合瑞利（Rayleigh）概率密度函数，即 • 计算决策边界点g(x)=0。 2 2 2 exp , 0 2 ( | ) 0, 0 i i i x x x p x      

根据贝叶斯决策理论，我们需要计算两类样本的后验概率，并比较它们的大小来确定决策边界。

设样本属于第一类的先验概率为 $P(\omega_1)$，属于第二类的先验概率为 $P(\omega_2)$，则有：

$$P(\omega_1|x) = \frac{p(x|\omega_1)P(\omega_1)}{p(x)}$$

$$P(\omega_2|x) = \frac{p(x|\omega_2)P(\omega_2)}{p(x)}$$

其中，$p(x|\omega_i)$ 表示属于第 $i$ 类样本时样本 $x$ 出现的概率密度函数，$p(x)$ 表示样本 $x$ 出现的概率密度函数。

由于两类样本等概率，即 $P(\omega_1) = P(\omega_2) = 0.5$，因此：

$$P(\omega_1|x) = \frac{p(x|\omega_1)}{p(x)}$$

$$P(\omega_2|x) = \frac{p(x|\omega_2)}{p(x)}$$

我们需要比较 $P(\omega_1|x)$ 和 $P(\omega_2|x)$ 的大小，来确定决策边界。

假设决策边界点为 $g(x) = 0$，则有：

$$\frac{p(x|\omega_1)}{p(x)} = \frac{p(x|\omega_2)}{p(x)}$$

$$\Rightarrow p(x|\omega_1) = p(x|\omega_2)$$

代入瑞利分布的概率密度函数：

$$\frac{x}{\sigma^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} = \frac{y}{\sigma^2}e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}$$

两边同时取对数，得到：

$$\ln x - \frac{x^2}{2\sigma^2} = \ln y - \frac{y^2}{2\sigma^2}$$

将 $g(x) = \ln x - \frac{x^2}{2\sigma^2}$，则决策边界为 $g(x) = g(y)$，即：

$$\ln x - \frac{x^2}{2\sigma^2} = \ln y - \frac{y^2}{2\sigma^2}$$

整理可得：

$$x^2 - 2\sigma^2\ln x = y^2 - 2\sigma^2\ln y$$

$$x^2 - y^2 = 2\sigma^2(\ln x - \ln y)$$

$$x^2 - y^2 = 2\sigma^2\ln \frac{x}{y}$$

因此，决策边界为 $x^2 - y^2 = 2\sigma^2\ln \frac{x}{y}$。