已知方程x^4+x^2-x-3=0在x。=1附近有根，写出求解该方程的Newton迭代公式，并求出第二次迭代的近似值x,。

该方程的Newton迭代公式为：x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

其中，f(x)=x^4 x^2-x-3，f'(x)=6x^5+4x^3-1

将x_0=1代入公式，得到：

x_1=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{-3}{9}=2/3

将x_1=2/3代入公式，得到：

x_2=\frac{82}{243}

因此，该方程的第二次迭代的近似值为x_2=82/243。

相关问题

用循环求x^2-7*x+6=0的解已知解在0到10

可以使用二分法来循环求解方程 x^2 - 7x + 6 = 0，具体步骤如下：

1. 初始化左右端点 l=0, r=10
2. 计算中间点 mid = (l+r)/2
3. 计算 f(mid) = mid^2 - 7*mid + 6
4. 如果 |f(mid)| < 精度要求，则 mid 为方程的解，输出 mid 并退出循环
5. 如果 f(mid) > 0，则解在左半边，令 r=mid，重复步骤 2-4
6. 如果 f(mid) < 0，则解在右半边，令 l=mid，重复步骤 2-4

下面是使用 Python 实现的代码：

def solve_equation():
    # 设置精度要求
    eps = 1e-6
    # 初始化左右端点
    l, r = 0, 10
    while l + eps < r:
        mid = (l + r) / 2
        f = mid * mid - 7 * mid + 6
        if abs(f) < eps:
            # 满足精度要求，输出 mid 作为方程的解
            print("The solution is:", mid)
            return
        elif f > 0:
            # 解在左半边
            r = mid
        else:
            # 解在右半边
            l = mid
    print("The solution is:", (l + r) / 2)

调用 `solve_equation()` 函数即可求解方程 x^2 - 7x + 6 = 0。

用二分法求方程2x^3-4x^2+3x-6=0在(-10, 10)之间的根。

### 回答1：
二分法是一种逐步缩小区间的方法，可以用来求解方程的根。对于给定的区间(-10, 10)，我们可以先计算出该区间的中点mid=(-10+10)/2=，然后将方程代入mid，得到f(mid)=2*^3-4*^2+3*-6=-6。由于f(mid)小于，根据方程的单调性，我们可以确定方程在(, 10)之间有根。接下来，我们将区间缩小为(, 10)，计算出新的中点mid=(+10)/2=5，代入方程得到f(mid)=2*5^3-4*5^2+3*5-6=94。由于f(mid)大于，我们可以确定方程在(, 5)之间有根。继续缩小区间，直到区间长度小于某个预设值，即可得到方程的根。

### 回答2：
二分法是一种常用的数值计算方法，用于求解函数方程的根。其基本思路是，利用函数的单调性和零点定理，将区间逐步缩小，直到找到函数方程的根。下面我们就来介绍一下如何使用二分法求解方程2x^3-4x^2+3x-6=0在(-10，10)之间的根。

首先，我们需要确定初始区间。由于方程是一个三次函数，同时我们已知该函数的系数范围(-10，10)，因此我们可以选择初始区间为[0，10]。接下来，我们需要利用函数的单调性来判断根所在区间。通过简单的计算可以发现，当x在[0，2]，[3，4]和[5，10]之间时，方程的值分别为负数、正数和负数，因此我们可以初步判断根位于[2，3]和[4，5]之间。我们选取其中一个区间进行递归，例如选择[2，3]区间。

接着，我们取该区间的中点x=2.5，计算方程的值f(2.5)=2.875。由于f(2.5)>0，根据零点定理，该区间的左半部分不可能包含根，因此我们将区间缩小为[2.5，3]。接着，我们继续取该区间的中点x=2.75，计算方程的值f(2.75)=0.796875。由于f(2.75)<0，根据零点定理，该区间的右半部分不可能包含根，因此我们将区间缩小为[2.5，2.75]。接着，我们再次取该区间的中点x=2.625，计算方程的值f(2.625)=-0.17578125。由于f(2.625)<0，根据零点定理，该区间的右半部分不可能包含根，因此我们将区间缩小为[2.625，2.75]。

如此反复递归下去，直到区间的长度小于某个特定的阈值，或者直到找到方程的根为止。最终，我们可以得到方程的一个根x=2.681274......。

需要注意的是，由于二分法求解函数方程的根是一种迭代算法，因此其收敛速度可能会受到初始区间选择、迭代精度、梯度信息等多个因素的影响。在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求进行选择，同时结合其他数值计算方法进行优化。

### 回答3：
二分法又称为折半法，是一种基于区间不断缩小的数值计算方法，其基本思想是把一个区间分成两个子区间，判断目标值在哪个子区间内，然后继续把子区间再次分成两个子区间，不断重复这个过程，最终求得目标值的近似解。本题要求用二分法求解方程2x^3-4x^2+3x-6=0在(-10， 10)之间的根。具体求解步骤如下：

1. 确定初始区间
由于该方程为三次方程，实根的个数不超过三个，因此我们可以将自变量x的取值范围(-10,10)分成若干个小区间，分别判断在每个小区间内是否存在实根。为了避免遗漏，我们通常可以将初始区间取成较大的区间，这里我们可以取(-10,10)作为初始区间。

2. 判断根的位置
将初始区间(-10,10)分成两个子区间，分别是左子区间(-10,0)和右子区间(0,10)。因为二分法的精髓在于不断缩小区间并判断目标值的位置，所以通过求该方程在左子区间和右子区间的函数值，我们可以了解到目标值是在左子区间还是在右子区间。

3. 迭代缩小区间
判断目标值是在左子区间还是在右子区间后，我们可以将区间缩小为刚才判断出的子区间（若方程在初始区间的函数值恰好为0，则该区间即为所求）。如果缩小后的区间长度大于一定的精度要求（比如10^-6），则继续迭代上述步骤，不断缩小区间。

4. 求解近似值
当缩小后的区间长度不足精度要求时，我们可以取区间中点作为该方程的近似根，即为所求解。

综上所述，利用二分法求解2x^3-4x^2+3x-6=0在(-10， 10)之间的根的步骤包括确定初始区间、判断根的位置、迭代缩小区间和求解近似值。在实际求解时，我们可以利用计算机编程语言来实现上述算法，快速求解该方程的实根。