2. Given a second-order AR model: $x(n)-0.6 x(n-1)+0.08 x(n-$ $2)=\omega(n)$, where $\omega(n)$ is a zero-mean white noise with variance $\sigma_\omega^2$. Please determine the transfer function $H(z)$, equivalent auto-correlation function $r_{x x}(m)$ and power spectrum $P_{x x}(z)$这道题中文具体解题步骤

这是一个二阶自回归模型，可以写成如下形式：

$$
x(n) = 0.6 x(n-1) - 0.08 x(n-2) + \omega(n)
$$

其中，$\omega(n)$ 是均值为 $0$，方差为 $\sigma_\omega^2$ 的白噪声序列。

我们可以将上式变换为 $z$ 域：

$$
X(z) = 0.6z^{-1}X(z) - 0.08z^{-2}X(z) + \Omega(z)
$$

其中，$X(z)$ 和 $\Omega(z)$ 分别是 $x(n)$ 和 $\omega(n)$ 的 $z$ 变换。移项得：

$$
X(z) = \frac{1}{1-0.6z^{-1}+0.08z^{-2}}\Omega(z)
$$

因此，该系统的传递函数为：

$$
H(z) = \frac{1}{1-0.6z^{-1}+0.08z^{-2}}
$$

接下来，我们需要求出该系统的等效自相关函数 $r_{xx}(m)$ 和功率谱 $P_{xx}(z)$。

对于一个 AR 模型，它的自相关函数 $r_{xx}(m)$ 可以通过其传递函数 $H(z)$ 来计算：

$$
r_{xx}(m) = \frac{\sigma_\omega^2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|H(e^{j\omega})|^2e^{j\omega m}d\omega
$$

将传递函数 $H(z)$ 化简为分式形式：

$$
H(z) = \frac{1}{(1-0.4z^{-1})(1-0.2z^{-1})}
$$

可以看出，该系统的极点为 $z=0.4$ 和 $z=0.2$，均在单位圆内。因此，该系统是稳定的。

将传递函数 $H(z)$ 变换为 $z$ 域的差分方程：

$$
y(n) - 0.4y(n-1) - 0.2y(n-2) = x(n)
$$

对上式两侧同时乘以 $y(n-m)$ 并对 $n$ 求和，可得：

$$
r_{yy}(m) - 0.4r_{yy}(m-1) - 0.2r_{yy}(m-2) = r_{xx}(m)
$$

其中，$r_{yy}(m)$ 是输出信号 $y(n)$ 的自相关函数。因为输入信号 $x(n)$ 是白噪声，所以其自相关函数为：

$$
r_{xx}(m) = \begin{cases}
\sigma_\omega^2 & m=0 \\
0 & m\neq 0
\end{cases}
$$

代入上式中，可得：

$$
r_{yy}(m) - 0.4r_{yy}(m-1) - 0.2r_{yy}(m-2) = \begin{cases}
\sigma_\omega^2 & m=0 \\
0 & m\neq 0
\end{cases}
$$

根据初始条件 $r_{yy}(0) = E[y^2(n)]$ 和 $r_{yy}(m) = r_{yy}(-m)$，可以求出 $r_{yy}(m)$ 的取值：

$$
r_{yy}(0) = \frac{\sigma_\omega^2}{1-0.4^2-0.2^2} = \frac{\sigma_\omega^2}{1.16}
$$

$$
r_{yy}(1) = 0.4r_{yy}(0) = \frac{0.4\sigma_\omega^2}{1.16}
$$

$$
r_{yy}(2) = 0.4r_{yy}(1) + 0.2r_{yy}(0) = \frac{0.36\sigma_\omega^2}{1.16}
$$

因此，该系统的等效自相关函数为：

$$
r_{xx}(m) = \begin{cases}
\frac{\sigma_\omega^2}{1.16} & m=0 \\
\frac{0.4\sigma_\omega^2}{1.16} & m=1 \\
\frac{0.36\sigma_\omega^2}{1.16} & m=2 \\
0 & m>2
\end{cases}
$$

最后，我们可以通过等效自相关函数 $r_{xx}(m)$ 来计算系统的功率谱 $P_{xx}(z)$：

$$
P_{xx}(z) = |H(z)|^2\sigma_\omega^2\sum_{m=-\infty}^{\infty}r_{xx}(m)z^{-m}
$$

由于 $r_{xx}(m)$ 在 $m>2$ 时为 $0$，因此可以将求和式的上限改为 $m=2$：

$$
P_{xx}(z) = |H(z)|^2\sigma_\omega^2\left[r_{xx}(0) + r_{xx}(1)z^{-1} + r_{xx}(2)z^{-2}\right]
$$

代入 $H(z)$ 和 $r_{xx}(m)$ 的表达式，化简得：

$$
P_{xx}(z) = \frac{\sigma_\omega^2}{(1-0.4z^{-1})(1-0.2z^{-1})}\left[\frac{1}{1.16} + \frac{0.4}{1.16}z^{-1} + \frac{0.36}{1.16}z^{-2}\right]
$$

因此，该系统的功率谱为：

$$
P_{xx}(z) = \frac{0.926\sigma_\omega^2}{(1-0.4z^{-1})(1-0.2z^{-1})} + \frac{0.3704\sigma_\omega^2}{(1-0.4z^{-1})(1-0.2z^{-1})}z^{-1} + \frac{0.3322\sigma_\omega^2}{(1-0.4z^{-1})(1-0.2z^{-1})}z^{-2}
$$