高斯球、高斯映射 源程序

高斯球和高斯映射是两个不同的概念，下面分别给出它们的源程序。

1. 高斯球

高斯球是指具有高斯分布函数的球体，其数学表达式为：

$$G(r) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma^3}\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)$$

其中 $r$ 表示到球心的距离，$\sigma$ 表示高斯分布的标准差。

下面是高斯球的 Python 实现代码：

import numpy as np

def gaussian_sphere(x, y, z, sigma):
    r = np.sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
    g = np.exp(-r**2 / (2 * sigma**2)) / (np.sqrt(2 * np.pi) * sigma**3)
    return g

其中 `x`、`y`、`z` 表示球心到某一点的三个坐标，`sigma` 表示高斯分布的标准差，函数返回的是该点的高斯球函数值。

2. 高斯映射

高斯映射是将一个球面映射到一个平面上的一种投影方式，也称为球形高斯投影。其数学表达式为：

$$\begin{aligned} x &= \frac{R\sin\theta\cos\phi}{\sqrt{1-\exp(-2\sigma^2)}} \\ y &= \frac{R\sin\theta\sin\phi}{\sqrt{1-\exp(-2\sigma^2)}} \\ z &= \frac{R\cos\theta-\exp(-\sigma^2)R}{\sqrt{1-\exp(-2\sigma^2)}} + \frac{R}{2} \end{aligned}$$

其中 $R$ 表示球体的半径，$\theta$、$\phi$ 分别表示球面上某一点的极角和方位角，$\sigma$ 表示高斯分布的标准差。

下面是高斯映射的 Python 实现代码：

import numpy as np

def gaussian_map(theta, phi, R, sigma):
    x = R * np.sin(theta) * np.cos(phi) / np.sqrt(1 - np.exp(-2 * sigma**2))
    y = R * np.sin(theta) * np.sin(phi) / np.sqrt(1 - np.exp(-2 * sigma**2))
    z = (R * np.cos(theta) - np.exp(-sigma**2) * R) / np.sqrt(1 - np.exp(-2 * sigma**2)) + R / 2
    return x, y, z

其中 `theta`、`phi` 表示球面上某一点的极角和方位角，`R` 表示球体的半径，`sigma` 表示高斯分布的标准差，函数返回该点在平面上的坐标。