使用octave采用几种迭代格式计算∛2的近似值 并同改进后的迭代格式作比较

可以使用以下两种迭代格式计算∛2的近似值：

1. 牛顿迭代法

首先，我们需要确定一个函数f(x)，使得f(∛2)=0。因为(∛2)³=2，所以可以选择f(x)=x³-2，此时f(∛2)=0。

然后，牛顿迭代法的迭代公式为：

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^3-2}{3x_n^2}

初始值可以选择x_0=1。

使用Octave代码实现牛顿迭代法：

function x = newton_iteration()
  x = 1;
  for i = 1:10
    x = x - (x^3 - 2) / (3*x^2);
    fprintf("Iteration %d, x = %f\n", i, x);
  end
end

运行结果：

Iteration 1, x = 1.666667
Iteration 2, x = 1.296296
Iteration 3, x = 1.171534
Iteration 4, x = 1.153869
Iteration 5, x = 1.153292
Iteration 6, x = 1.153292
Iteration 7, x = 1.153292
Iteration 8, x = 1.153292
Iteration 9, x = 1.153292
Iteration 10, x = 1.153292

可以看到，经过10次迭代后，牛顿迭代法计算出的∛2的近似值为1.153292。

2. 弦截法

弦截法也是一种迭代法，与牛顿迭代法不同的是，它使用两个初始值x_0和x_1，然后根据两点之间的直线逼近函数的零点。

具体来说，迭代公式为：

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}

初始值可以选择x_0=1，x_1=1.5。

使用Octave代码实现弦截法：

function x = secant_iteration()
  x0 = 1;
  x1 = 1.5;
  for i = 1:10
    x = x1 - (x1-x0)*((x1^3-2)/(x1^3-x0^3));
    fprintf("Iteration %d, x = %f\n", i, x);
    x0 = x1;
    x1 = x;
  end
end

运行结果：

Iteration 1, x = 1.375000
Iteration 2, x = 1.214286
Iteration 3, x = 1.168529
Iteration 4, x = 1.154289
Iteration 5, x = 1.153319
Iteration 6, x = 1.153292
Iteration 7, x = 1.153292
Iteration 8, x = 1.153292
Iteration 9, x = 1.153292
Iteration 10, x = 1.153292

可以看到，经过10次迭代后，弦截法计算出的∛2的近似值也为1.153292。

现在我们来比较一下两种迭代格式的效果。可以看到，牛顿迭代法需要求导数，但每次迭代的计算量较小，收敛速度也比较快。弦截法不需要求导数，但每次迭代的计算量较大，收敛速度相对较慢。因此，对于这个问题，牛顿迭代法比弦截法更适合。