C++插值内插和外推实现

插值内插和外推是数值分析中常用的技术，可以用来估计未知数据点的值。在C++中，可以使用插值函数来实现插值内插和外推。

以下是一个简单的示例代码，演示如何使用C++实现插值内插和外推：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 定义插值函数
double interpolate(vector<double> const& x, vector<double> const& y, double const& xi) {
    int n = x.size();
    double yi = 0.0;

    // 判断数据点是否足够
    if (n < 1) return yi;
    if (n < 2) return y[0];

    // 根据插值公式计算估计值
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double w = 1.0;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i == j) continue;
            w *= (xi - x[j]) / (x[i] - x[j]);
        }
        yi += w * y[i];
    }

    return yi;
}

// 定义外推函数
double extrapolate(vector<double> const& x, vector<double> const& y, double const& xi) {
    int n = x.size();

    // 判断数据点是否足够
    if (n < 1) return 0.0;
    if (n < 2) return y[0];

    // 将数据点按照x值排序
    vector<pair<double, double>> data(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        data[i] = make_pair(x[i], y[i]);
    }
    sort(data.begin(), data.end());

    // 判断xi是否在数据范围内
    if (xi < data[0].first) return data[0].second;
    if (xi > data[n - 1].first) return data[n - 1].second;

    // 根据插值公式计算估计值
    int i = 0;
    while (i < n && xi > data[i].first) {
        i++;
    }
    double x1 = data[i - 1].first;
    double x2 = data[i].first;
    double y1 = data[i - 1].second;
    double y2 = data[i].second;
    double yi = y1 + (y2 - y1) * (xi - x1) / (x2 - x1);

    return yi;
}

int main() {
    // 定义数据点
    vector<double> x = {0.0, 1.0, 2.0, 3.0};
    vector<double> y = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0};

    // 使用插值函数估计未知数据点的值
    double xi = 1.5;
    double yi = interpolate(x, y, xi);
    cout << "Interpolated value at " << xi << " is " << yi << endl;

    // 使用外推函数估计未知数据点的值
    xi = -1.0;
    yi = extrapolate(x, y, xi);
    cout << "Extrapolated value at " << xi << " is " << yi << endl;

    xi = 4.0;
    yi = extrapolate(x, y, xi);
    cout << "Extrapolated value at " << xi << " is " << yi << endl;

    return 0;
}

在上面的示例中，我们定义了一个插值函数 `interpolate` 和一个外推函数 `extrapolate`，它们都接受两个向量 `x` 和 `y`，分别表示已知的数据点的x和y值，以及一个未知数据点的x值 `xi`，并返回估计的未知数据点的y值。在 `interpolate` 函数中，我们使用拉格朗日插值公式来计算估计值；在 `extrapolate` 函数中，我们使用线性插值公式来计算估计值。在主函数中，我们使用这两个函数分别计算插值内插和外推的结果，并输出到控制台。