已知正四棱锥的侧棱长为l，其个定点都在一个球面上，若该球的体积为36π，且l大于3小于3倍根号3，则该正四棱锥的体积的取值范围是多少?

### 回答1：
该正四棱锥的体积的取值范围为 54 ≤ V ≤ 108，其中 V 是正四棱锥的体积。

解释如下：

正四棱锥有五个顶点，将它们标记为 A, B, C, D 和 O。设 AB = AC = AD = l，BC = CD = x，AO = BO = CO = DO = r。由于正四棱锥的四个侧面是等腰三角形，因此，我们可以得到：

$${x^2} + {r^2} = {l^2}$$

同时，由于 A, B, C, D 和 O 都在同一个球面上，因此，有：

$${r^2} = \frac{1}{3}{R^2}$$

其中 R 是该球的半径。因此，我们可以得到：

$${x^2} + \frac{1}{3}{R^2} = {l^2}$$

又因为该球的体积为 36π，因此有：

$$\frac{4}{3}\pi{R^3} = 36\pi$$

即：

$${R^3} = 27$$

因此：

$${x^2} = {l^2} - \frac{1}{3}{R^2} = {l^2} - 9$$

由于 l 大于 3，因此 x 大于 0。因此，正四棱锥的体积可以表示为：

$$V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}h = \frac{1}{3}{l^2}\sqrt {{x^2} - \frac{1}{4}{l^2}}$$

其中 SABCD 是正四棱锥的底面积，h 是正四棱锥的高。因此，我们需要求出 x 的取值范围，才能确定 V 的取值范围。

由于 x 大于 0，因此：

$$\sqrt {{x^2} - \frac{1}{4}{l^2}} ≤ \sqrt {{x^2}} = x$$

因此，有：

$$V ≤ \frac{1}{3}{l^2}x ≤ \frac{1}{3}{l^2}\sqrt {{x^2} - \frac{1}{4}{l^2}}$$

即：

$$V ≤ \frac{1}{3}{l^2}x ≤ \frac{1}{3}{l^2}\sqrt {x^2 - 9}$$

我们可以将不等式左边和右边都乘以 3，得到：

$$3V ≤ {l^2}x ≤ {l^2}\sqrt {x^2 - 9}$$

再将不等式两边都除以 l^2，得到：

$$3\frac{V}{{{l^2}}} ≤ x ≤ \sqrt {{\left( {\frac{V}{{{l^2}}}} \right)^2} + 9}$$

由于 l 大于 3，因此 x 大于 0，因此我们可以将上面的不等式两边都平方，得到：

$$9\frac{{{V

### 回答2：
首先，由正四棱锥的侧棱长度为l，我们可以构造以正四棱锥某个定点为球心，以l为半径的球，记作O。

根据题意，正四棱锥的所有顶点都在球O上，即其四个顶点也在球上。

假设该正四棱锥的一个顶点为A，则A到球心O的距离即为l，连接OA并延长到球O的表面上，可以得到一个以O为顶点的正四边形ABCD。

由于相邻两个顶点之间的距离为l，所以四边形ABCD的边长也为l。

接下来，我们可以通过球的体积和正四边形ABCD的面积之比来确定正四棱锥的体积取值范围。

首先，正四边形ABCD的面积可以求得：
S = l²/ tan(π/4) = l²

而球的体积为36π，可知球的半径r满足4/3πr³ = 36π，解得r = 3。

由球O的半径r和正四边形ABCD的边长l可求得正四边形的面积与球的体积之比：
S/(4/3πr³) = l² / (4/3π * 3³) = l² / 36π = (l/6)²

所以，正四棱锥的体积与球的体积之比为(S * l) / (4/3πr³) = (l² * (l/6)) / (4/3π * 3³) = l³ / 72π

根据题意可知，l大于3小于3倍根号3，即3 < l < 3√3

将l³ / 72π代入对l的取值范围中，可以得到体积的取值范围：
(3³ / 72π) < l³ / 72π < (3√3³ / 72π)

化简得：
9π / 72π < V < 27√3π / 72π

取消相同的π，得到：
1/8 < V < √3 / 8

### 回答3：
首先，正四棱锥的体积可以通过公式V = (1/3) * Bh来计算，其中B为底面积，h为高。

正四棱锥的底面为一个等边三角形，其面积可以通过公式B = (sqrt(3)/4) * l^2来计算。

由于四棱锥的顶点位于球的表面上，可以得到正四棱锥的高为球的半径r。

根据题目给出的信息，球的体积为36π，可以得到球的半径为r = (3/2)，即r = 3。由此，正四棱锥的高为h = 3。

将底面积B = (sqrt(3)/4) * l^2和高h = 3代入体积公式V = (1/3) * Bh，可以得到正四棱锥的体积为V = (1/3) * (sqrt(3)/4) * l^2 * 3。

化简上式，可以得到V = (sqrt(3)/4) * l^2。

根据已知条件l大于3小于3倍根号3，可以得到3 < l < 3*sqrt(3)。

将上述不等式代入正四棱锥体积的表达式V = (sqrt(3)/4) * l^2，可以得到取值范围为3*(sqrt(3)/4) * 3^2 < V < 3*(sqrt(3)/4) * (3*sqrt(3))^2。

化简上式，可以得到3*sqrt(3) < V < 27*sqrt(3)。

因此，正四棱锥的体积的取值范围是3*sqrt(3)到27*sqrt(3)。