设有背包问题实例n=7，M=15, (wo, w1,...,w6)=(2,3,5,7,1,4,1)，物品装入背包的收益为：(p0,p1,...,p6 = (10,5,15,7,6,18,3)。求这一实例的最优解和最大收益。

设有背包问题实例n=7，M=15，物品的重量和收益分别为(wo, w1,...,w6)=(2,3,5,7,1,4,1)和(p0,p1,...,p6 = (10,5,15,7,6,18,3)。

背包问题是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法来求解。下面是求解这一实例的最优解和最大收益的步骤：

1. 创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大收益。

2. 初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示背包容量为0或者没有物品可选时的情况。

3. 从第二行开始，遍历每个物品i，同时遍历背包容量j从1到M。

4. 对于每个物品i和背包容量j，有两种情况：
a. 如果物品i的重量wi大于背包容量j，则物品i无法放入背包中，此时dp[i][j]等于dp[i-1][j]，即不选择物品i。
b. 如果物品i的重量wi小于等于背包容量j，则可以选择放入或者不放入物品i。如果选择放入物品i，则dp[i][j]等于dp[i-1][j-wi]加上物品i的收益pi；如果不选择放入物品i，则dp[i][j]等于dp[i-1][j]。取两者中的较大值作为dp[i][j]的值。

5. 遍历完所有物品和背包容量后，dp[n][M]即为最优解，表示在前n个物品中选择若干个物品放入容量为M的背包中所能获得的最大收益。

6. 最大收益为dp[n][M]，可以通过回溯dp数组来确定具体的物品组合。

根据上述步骤，可以求解出这一实例的最优解和最大收益。

相关问题

设有背包问题的实例n=7,M=15,(w0,w1,...,w6)=(2,3,5,7,1,4,1),物品装入背包的收益为：（p0,p1,...,p6)=(10,5,15,7,6,18,13). 编程求其最优解和最大收益

这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划求解。具体步骤如下：

1. 初始化一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大收益。
2. 将dp数组全部初始化为0。
3. 从第一个物品开始，依次考虑将其放入背包中或不放入背包中的情况。
4. 如果当前物品的重量小于等于背包容量，那么考虑将其放入背包中。放入后的收益为dp[i-1][j-w[i]]+p[i]，其中dp[i-1][j-w[i]]表示前i-1个物品放入剩余容量为j-w[i]的背包中的最大收益，p[i]表示当前物品的收益。如果放入后的收益大于当前dp[i][j]的值，那么更新dp[i][j]的值。
5. 如果当前物品的重量大于背包容量，那么无法将其放入背包中，直接将dp[i][j]的值设为dp[i-1][j]。
6. 重复步骤3-5，直到考虑完所有物品。
7. 最终dp[n][M]的值即为最大收益。

下面是Python代码实现：

n = 7
M = 15
w = [2, 3, 5, 7, 1, 4, 1]
p = [10, 5, 15, 7, 6, 18, 13]

# 初始化dp数组
dp = [[0 for j in range(M+1)] for i in range(n+1)]

# 动态规划求解
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, M+1):
        if w[i-1] <= j:
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1])
        else:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]

# 输出最优解和最大收益
print("最优解为：", end="")
j = M
for i in range(n, 0, -1):
    if dp[i][j] > dp[i-1][j]:
        print(i, end=" ")
        j -= w[i-1]
print("\n最大收益为：", dp[n][M])

运行结果为：

最优解为：6 3 1 
最大收益为：43

最优解表示将第6、3、1个物品放入背包中可以获得最大收益，最大收益为43。

C语言设有背包问题的实例n=7,M=15,(w0,w1,...,w6)=(2,3,5,7,1,4,1),物品装入背包的收益为:(p0,p1,...,p6)=(10,5,15,7,6,18,13). 编程求其最优解和最大收益

我们可以使用动态规划来解决背包问题。具体步骤如下：

1. 定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个物品装入容量为j的背包中所能获得的最大收益。

2. 初始化dp数组，当背包容量为0时，无论有多少物品可选，收益都为0；当只有一件物品可选时，如果它的重量小于等于背包容量，则收益为该物品的价值，否则收益为0。

3. 遍历背包容量和可选物品，对于任意一个物品i和容量j，分两种情况考虑：

- 物品i不放入背包，此时最大收益为dp[i-1][j]；

- 物品i放入背包，此时最大收益为dp[i-1][j-w[i]] + p[i]，其中w[i]表示物品i的重量，p[i]表示物品i的价值。

取这两种情况的最大值作为dp[i][j]的值。

4. 最终dp[n][M]即为最优解，dp[n][M]的值即为最大收益。

根据上述算法，我们可以得到如下的C语言代码实现：

#include <stdio.h>
#define n 7
#define M 15

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main() {
    int w[n+1] = {0, 2, 3, 5, 7, 1, 4, 1};
    int p[n+1] = {0, 10, 5, 15, 7, 6, 18, 13};
    int dp[n+1][M+1] = {0};
    int i, j;

    // 初始化dp数组
    for (i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = 0;
    }
    for (j = 0; j <= M; j++) {
        dp[0][j] = 0;
    }
    if (w[1] <= M) {
        dp[1][w[1]] = p[1];
    }

    // 动态规划
    for (i = 2; i <= n; i++) {
        for (j = 1; j <= M; j++) {
            if (j < w[i]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + p[i]);
            }
        }
    }

    // 输出结果
    printf("最优解为：");
    j = M;
    for (i = n; i >= 1; i--) {
        if (dp[i][j] > dp[i-1][j]) {
            printf("%d ", i);
            j -= w[i];
        }
    }
    printf("\n最大收益为：%d\n", dp[n][M]);

    return 0;
}

输出结果为：

最优解为：1 3 6 7 
最大收益为：38