FMCW radar

FMCW Radar 工作原理与实现方法
调频连续波 (Frequency Modulated Continuous Wave, FMCW) 雷达是一种利用频率变化来测量目标距离和速度的技术。其工作原理基于发射线性调制的连续波信号，并通过接收回波信号计算目标的距离和相对速度。
1. 发射信号设计
FMCW 雷达的核心在于发送经过线性调频的连续波信号，通常称为锯齿波或三角波形式的扫频信号。这种信号的特点是在时间上具有周期性的频率斜坡变化[^2]。数学表达式可以表示为：
[ s(t) = A \cdot e^{j(2\pi f_c t + k_t)} ]
其中 (f_c) 是载波中心频率，(k) 表示频率随时间的变化率（即调频斜率），而 (A) 则代表信号幅度。
2. 接收信号处理
当发射信号遇到目标并反射回来时，由于传播延迟的存在，接收到的信号会相对于原始信号产生相位差以及多普勒效应引起的频率偏移。假设目标到雷达之间的往返时间为 (\tau) ，则接收信号可写成如下形式：
[ r(t) = R \cdot e^{j(2\pi f_c (t-\tau) + k(t-\tau))} ]
通过对混频器得到的中频信号进行傅里叶变换分析，可以从频率域提取出对应的目标信息。具体来说，混合后的信号包含两个主要成分：一个是因路径长度差异造成的固定频率分量；另一个是由运动物体引发的速度相关项[^3]。
3. 距离与速度解算

距离测定：由上述公式可知，如果能够精确测得两者的频率偏差，则可以直接推导出目标位置参数。
[ d=\frac{c}{2}\Delta_f/k ]

速度检测：对于移动中的对象而言，在下一帧扫描期间还会叠加额外的一个正弦型波动模式，这便是所谓的多普勒频移现象。因此可以通过进一步解析获得瞬时速率数据。
[ v=-\lambda/2T_s * n_{Doppler} ]

以下是简单的 Python 实现代码用于模拟基本功能：
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft,fftfreq

def fmw_radar_simulation(frequency_slope=50e9,duration=0.001,sampling_rate=1e6):
time=np.arange(0,duration,1/sampling_rate)
transmitted_signal=np.exp(1j*2*np.pi*(frequency_slope*time))
delay_time=duration//4 # Simulate target at one quarter of total duration

received_signal=np.roll(transmitted_signal,int(delay_time*sampling_rate))+np.random.normal(scale=.1,size=len(time))

mixed_signal=received_signal*np.conjugate(transmitted_signal)

spectrum=fft(mixed_signal)
freqs=fftfreq(len(spectrum),d=1./sampling_rate)

peak_index=np.argmax(np.abs(spectrum))
estimated_frequency=freqs[peak_index]
distance=(estimated_frequency/frequency_slope)*3e8/2

return {"distance":distance,"time":time}
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