费马因子分解python

费马因子分解是一种用于将一个大合数分解为其质因数的算法。以下是一个使用Python实现费马因子分解的示例代码：

import math

def fermat_factor(n):
    a = math.ceil(math.sqrt(n))
    b2 = a*a - n
    while not math.sqrt(b2).is_integer():
        a += 1
        b2 = a*a - n
    return (a - math.isqrt(b2), a + math.isqrt(b2))

n = 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789
print(fermat_factor(n))

在上面代码中，我们首先导入了Python内置的math库。然后我们定义了一个名为`fermat_factor`的函数，它接收一个整数`n`作为输入，并返回一个包含`n`的质因数的元组。算法的实现基于费马小定理和勾股定理，它通过逐步增加`a`的值并计算`b2 = a*a - n`来找到满足`b2`是完全平方数的整数`a`。最后，函数返回`(a - isqrt(b2), a + isqrt(b2))`作为`n`的因数。

在上面的示例代码中，我们使用了一个非常大的数`n`进行测试，这可能需要一些时间才能得到结果。

相关问题

用python编码，输入n，用费马分解法将n分解

费马分解法是一种用于分解大整数的一种算法，它不是标准的数学运算，而是基于概率和试错的方式寻找素因子。在Python中，虽然可以实现这种算法，但它的效率并不高，因为对于非常大的数字，计算时间会很长。

下面是一个简单的Python函数示例，使用了费马小定理作为基础来尝试分解：

import random

def fermat_test(a, n):
    """Fermat's Little Theorem test"""
    if a ** (n - 1) % n != 1:
        return False
    return pow(a, int(n**0.5) + 1, n) == n

def fermat_factorization(n, trials=100):
    """Probabilistic Fermat Factorization"""
    factors = []
    
    for _ in range(trials):
        a = random.randint(2, n - 1)
        
        # If n is composite and a has no common factor with n
        if fermat_test(a, n):
            b = pow(a, (n - 1) // 2, n)
            
            # Check if b is a factor by comparing its square to n
            if b * b % n == n:
                factors.append(n)
                factors.append(b)
                break
            elif b != 1 and b != n - 1:
                factors.append(b)

    return factors if len(factors) == 2 else None

# 示例
n = int(input("请输入一个整数："))
result = fermat_factorization(n)
if result:
    print(f"使用费马分解法得到：{result}")
else:
    print("无法通过费马分解法找到因子，可能需要更高效的算法。")

如何用Python实现费马分解（Fermat Factorization）算法？

费马分解算法，也称为Pollard rho算法，是一种用于寻找大整数素因子的有效非确定性算法。在Python中实现费马分解的基本步骤如下：

1. **选择函数**：通常选择`f(x) = x^2 + c (mod n)`，其中c是一个随机选择的小于n的常数。

2. **初始化**：选择两个初始值x和y，并设置它们相等，即`x = y = a`，这里a可以是小于n的一个整数。

3. **迭代**：
- 如果`x`等于`y`，那么我们找到了一个可能的因子：`d = gcd(|x - y|, n)`。如果d是大于1且小于n的，则它是一个因子。
- 否则，更新`y`的值：`y = f(f(y))`

4. **循环**：重复步骤3，直到找到因子或达到预定的最大迭代次数。

下面是一个简单的Python实现示例：

import math

def fermat_rho(n, max_iter=1000):
    def f(x):
        return (x**2 + 1) % n

    x = random.randint(2, n-2)
    y = x
    d = None
    for _ in range(max_iter):
        x = f(x)
        y = f(f(y))
        if x == y:
            d = math.gcd(abs(x - y), n)
            if d > 1 and d < n:
                break

    if d is not None:
        return d, n // d
    else:
        return None  # 没有找到因子

# 使用示例
factor = fermat_rho(97031653)
if factor:
    print(f"Found factors {factor[0]} and {factor[1]}, which multiply to give {n}")
else:
    print("No factors found within the given iterations.")