pca计算公式 标准化

PCA（主成分分析）的计算公式如下：

1. 标准化数据

将原始数据标准化使其均值为0，标准差为1，公式为：

$${z_{ij}} = \frac{{{x_{ij}} - \bar x_j}}{s_j}$$

其中，$z_{ij}$是标准化后的第i个样本在第j个特征上的取值，$x_{ij}$是原始数据的第i个样本在第j个特征上的取值，$\bar x_j$是第j个特征的均值，$s_j$是第j个特征的标准差。

2. 计算协方差矩阵

对标准化后的数据求协方差矩阵，公式为：

$$Cov(X) = \frac{1}{n-1}Z^TZ$$

其中，$n$是样本数量，$Z$是标准化后的数据矩阵。

3. 计算特征值和特征向量

对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量，公式为：

$$Cov(X)v_i = \lambda_iv_i$$

其中，$v_i$是第i个特征向量，$\lambda_i$是第i个特征值。

4. 选择主成分

根据特征值的大小选择前$k$个主成分，其中$k$是主成分的数量。

5. 计算主成分得分

将标准化后的数据乘以前$k$个主成分的特征向量，得到主成分得分，公式为：

$${T_k} = Z{V_k}$$

其中，$T_k$是前$k$个主成分的得分，$V_k$是前$k$个主成分的特征向量。

相关问题

如何计算PCA后的荷载

PCA（主成分分析）是一种常用的降维技术，用于减少高维数据的维数并保留数据中的主要信息。在PCA中，我们可以计算出数据的主成分和它们的贡献率。荷载（loading）是指主成分与每个原始变量之间的关系系数，用于描述每个原始变量在主成分中的权重。

要计算PCA后的荷载，可以按照以下步骤进行：

1. 对原始数据进行标准化处理，即将每个变量的均值设为0，标准差设为1。

2. 计算协方差矩阵或相关矩阵。协方差矩阵反映了每个变量之间的线性关系，而相关矩阵反映了每个变量之间的相关性。

3. 对协方差矩阵或相关矩阵进行特征值分解，得到主成分和它们的特征值。

4. 根据特征值，计算每个主成分的贡献率，即该主成分解释了总方差的多少比例。

5. 计算每个原始变量在每个主成分中的权重，即荷载。荷载的计算公式为：每个原始变量在主成分中的权重 = 原始变量与主成分之间的关系系数 × 该主成分的标准差 / 该主成分的特征值。

6. 可以将荷载进行标准化处理，使其加和等于1。

需要注意的是，PCA是一种有监督的降维技术，需要先确定降维后的维数，例如选择保留前k个主成分。同时，PCA的结果也需要进行解释和验证，以确保降维后的数据仍能够保留原始数据的信息。

pca实现步骤1000字

PCA（Principal Component Analysis） 是一种常用的数据降维技术，可以在保留原数据的主要特征的前提下，将高维数据降低到低维度，用于数据可视化、数据压缩、数据分类等领域。下面将介绍PCA的实现步骤。

1. 数据预处理

数据预处理是PCA的第一步。在进行PCA之前，需要对数据进行预处理。首先，需要对数据进行标准化处理，使数据的均值为0，方差为1。标准化处理的目的是将不同量纲的数据转化为同一量纲，便于比较和处理。其次，需要对数据进行缺失值处理，可以通过插值、平均值或中位数填充等方法进行处理。

2. 计算协方差矩阵

协方差矩阵反映了不同特征之间的相关性。PCA的核心是通过计算协方差矩阵，找到数据中的主成分。协方差矩阵可以通过以下公式进行计算：

$$
C = \frac{1}{n-1}(X-\bar{X})^T(X-\bar{X})
$$

其中，$X$为标准化后的数据矩阵，$\bar{X}$为每个特征的均值向量，$n$为样本数量。

3. 计算特征值和特征向量

协方差矩阵的特征值和特征向量是PCA的重要输出结果，它们可以用于确定主成分。特征值表示数据在特征向量方向上的方差，特征向量表示数据在该方向上的分布。可以通过以下公式计算协方差矩阵的特征值和特征向量：

$$
Cv = \lambda v
$$

其中，$C$为协方差矩阵，$v$为特征向量，$\lambda$为特征值。通过求解该方程，可以得到协方差矩阵的所有特征值和特征向量。

4. 选择主成分

通过计算特征值和特征向量，可以得到协方差矩阵的所有特征值和特征向量。在选择主成分时，可以根据特征值的大小来确定。特征值越大，表示数据在该方向上的方差越大，主成分的重要性越高。可以通过设定阈值，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

5. 数据转换

为了降低数据的维度，需要将数据投影到主成分上。可以通过以下公式进行数据转换：

$$
Y = XW
$$

其中，$Y$为转换后的数据矩阵，$X$为标准化后的数据矩阵，$W$为选择的主成分矩阵。转换后的数据矩阵$Y$的每一行表示一个样本在主成分上的投影值，每一列表示一个主成分。

6. 可视化分析

通过PCA降维后的数据，可以进行可视化分析。可以将数据投影到2维或3维空间中，用于数据可视化。可以通过散点图、热力图等方式展示数据的分布情况，帮助分析数据的特征和规律。

以上就是PCA实现步骤的详细介绍。需要注意的是，PCA算法的结果取决于数据的标准化和主成分的选择。在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和优化。