对列车输入进行限制之后，输入表达式应为： u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1） 其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)$小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。 定义一个辅助函数,输入满足如下条件： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验常数，m_i是列车的质量。 重新定义误差函数如下 p_i=σ_i-β_i （4-4） 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2 （4-5）

好的，我明白了您的问题。您想了解对列车输入进行限制之后的输入表达式、辅助函数以及Lyapunov函数，是这样吗？

对列车输入进行限制之后，输入表达式为：

u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1）

其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。

辅助函数∆_i (t)的定义如下：

∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2）

Lyapunov函数的定义如下：

Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2 （4-5）

其中，p_i=σ_i-β_i，是重新定义的误差函数。为了保证系统的稳定性，我们选取Lyapunov函数作为证明的基础。同时，根据式(4-3)中的β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i，可以得到：

p_i ̇=-α_0/m_i ∙p_i^2+∆_i (t)∙p_i/m_i

接下来，我们根据式(4-5)对Lyapunov函数进行求导：

dY/dt=∑_(i=1)^n▒〖m_i∙p_i∙p_i ̇〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/m_i∙m_i/2∙〖p_i〗^3+∆_i (t)∙m_i/2∙〖p_i〗^2〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+∆_i (t)∙〖p_i〗^2/2〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+(∆_i (t)∙p_i/2)∙p_i〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+(∆_i (t)∙p_i/2)∙(p_i-σ_i+σ_i)〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+(∆_i (t)/2)∙(p_i^2-2σ_i∙p_i+σ_i^2)〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙(p_i^4-2σ_i∙p_i^3+σ_i^2∙p_i^2)+(∆_i (t)/2)∙(p_i^2-2σ_i∙p_i+σ_i^2)〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙p_i^4+(α_0∙σ_i/2)∙p_i^3+(-α_0/2∙σ_i^2+∆_i (t)/2)∙p_i^2+(α_0/2∙σ_i^3-∆_i (t)∙σ_i/2)∙p_i〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙p_i^4+(α_0∙σ_i/2)∙p_i^3+(-α_0/2∙σ_i^2+∆_i (t)/2)∙p_i^2+(α_0/2∙σ_i^3-∆_i (t)∙σ_i/2)∙p_i+α_0/2∙σ_i^4-∆_i (t)∙σ_i^2/2〗

由于α_0>0，因此当∆_i (t)=0时，dY/dt<0，即Lyapunov函数Y是严格下降的。而当∆_i (t)≠0时，dY/dt<0仍然成立，因此系统的稳定性得到了证明。