MATLAB中微分方程 y'' + 2y' + 2y = 0 当 y(0) = 0 和 y'(0) = 1 时的解

在MATLAB中，你可以使用ode45函数来解决非线性微分方程组，例如这个二阶常系数线性齐次微分方程 \( y'' + 2y' + 2y = 0 \)。给定初始条件 \( y(0) = 0 \) 和 \( y'(0) = 1 \)，可以按照以下步骤操作：

1. 首先，将微分方程转换成系统形式。对于二阶方程，你需要创建两个状态变量：\( x_1 = y \) 和 \( x_2 = y' \)，得到的一阶系统为：
\[ \begin{cases}
dx_1/dt = x_2 \\
dx_2/dt = -2x_2 - 2x_1
\end{cases} \]
初始条件为 \( x_1(0) = 0 \) 和 \( x_2(0) = 1 \)。

2. 定义函数f，它接受状态向量和时间作为输入，并返回相应的导数：

function dydt = f(t,y)
dydt = [y(2); -2*y(2) - 2*y(1)];

3. 使用ode45调用该函数：

[t, y] = ode45(f, [0, T], [0; 1]); % 替换[T]为你要计算的时间范围

4. 结果数组y的第一列是时间，第二、三列分别是对应的 \( y \) 和 \( y' \) 值。

如果你想要直接看到解的形式，可以使用`deval`函数：

[tSol, ySol] = deval(y, linspace(0, T, 100)); % 生成更精细的时间点
plot(tSol, ySol(:,1), 'b', tSol, ySol(:,2), 'r'); % 绘制y和y'
xlabel('Time');
ylabel('Solution');
legend('y', 'y\prime');