∫xsinxdx分部积分

以下是求解 ∫ x sin ⁡ x d x \int{x\sin xdx} ∫xsinxdx 的分部积分过程：

设 u = x , v ′ = sin ⁡ x u=x,v'=\sin x u=x,v′=sinx， 则 v = − cos ⁡ x v=-\cos x v=−cosx。

根据分部积分公式： ∫ u v ′ d x = u v − ∫ v u ′ d x \int uv' dx=uv-\int vu' dx ∫uv′dx=uv−∫vu′dx，得到：

∫ x sin ⁡ x d x = − x cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x d x \int{x\sin xdx}=-x\cos x+\int\cos xdx ∫xsinxdx=−xcosx+∫cosxdx

再次使用分部积分，设 u = cos ⁡ x , v ′ = 1 u=\cos x,v'=1 u=cosx,v′=1，则 v = x v=x v=x。

根据分部积分公式，得到：

∫ x sin ⁡ x d x = − x cos ⁡ x + sin ⁡ x + C \int{x\sin xdx}=-x\cos x+\sin x+C ∫xsinxdx=−xcosx+sinx+C

其中 C 为常数。