解析函数在复变函数理论中起着核心作用，请详细说明解析函数的定义及其关键性质。

解析函数是复变函数理论中的基础概念，它在复数域上具有极高的研究价值。为了更深入地理解和掌握解析函数的定义及其性质，可以参考《复变函数(第四版)课件》这一资料，它由西安交通大学高等数学教研室编写，提供了详细的理论解释和丰富的实例，非常适合学生和教师用于学习和教学。

参考资源链接：[复变函数(第四版)课件](https://wenku.csdn.net/doc/h42t5y21cx?spm=1055.2569.3001.10343)

解析函数定义为在其定义域内，对于任意一点，若该点的邻域内函数都可导，则称该函数在该点为解析的。更进一步，如果函数在整个复平面上的每一点都是解析的，则称该函数为全纯函数。解析函数具有以下关键性质：

1. 可微性：解析函数在其定义域内处处可微。
2. Cauchy-Riemann方程：若函数\( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)在点\( z = x + iy \)解析，则其实部\( u \)和虚部\( v \)必须满足Cauchy-Riemann方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
3. 解析函数的导数在定义域内连续。
4. 局部性质：解析函数在其解析点的邻域内可以展开成幂级数，即泰勒级数。
5. 全纯函数是单值的，不会出现多值现象。
6. 全纯函数的积分路径无关，沿闭合路径积分为零。

掌握解析函数的定义和性质对于深入研究复变函数理论至关重要，它为理解复分析、复积分以及复级数等高级概念提供了坚实的基础。通过《复变函数(第四版)课件》，不仅可以学习解析函数的基本理论，还能通过课件中的实例加深理解，为解决实际问题打下坚实的基础。此外，对于那些希望进一步探索复变函数理论的学生，课件中还包含了大量习题和解析，能够帮助他们巩固知识并提高解题技巧。

参考资源链接：[复变函数(第四版)课件](https://wenku.csdn.net/doc/h42t5y21cx?spm=1055.2569.3001.10343)