对带时滞的SIR模型的hopf分岔的仿真

SIR模型描述了人口在传染病流行中的变化。考虑到许多传染病具有潜伏期，我们可以对SIR模型进行改进，加入潜伏期的概念，并且考虑到治疗和免疫力的效应，建立带时滞的SIR模型：

$$
\begin{aligned}
\frac{dS}{dt} &= \Lambda - \beta S(t) I(t-\tau) - \mu S(t) \\
\frac{dE}{dt} &= \beta S(t) I(t-\tau) - (a+\mu)E(t)\\
\frac{dI}{dt} &= a E(t) - (\gamma+\mu)I(t)\\
\frac{dR}{dt} &= \gamma I(t) - \mu R(t)
\end{aligned}
$$

其中，$S$表示易感人群的比例，$E$表示潜伏人群的比例，$I$表示感染人群的比例，$R$表示康复人群的比例。$\Lambda$是出生率，$\mu$是死亡率，$\beta$是感染率，$\gamma$是康复率，$a$是潜伏期的发病率，$\tau$是潜伏期。我们将使用MATLAB对该模型进行Hopf分岔的仿真。

首先，我们将模型改写为向量形式：

$$
\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t)) = \begin{bmatrix}
\Lambda - \beta S(t) I(t-\tau) - \mu S(t) \\
\beta S(t) I(t-\tau) - (a+\mu)E(t) \\
a E(t) - (\gamma+\mu)I(t) \\
\gamma I(t) - \mu R(t)
\end{bmatrix}
$$

然后，我们需要定义时滞函数，用于计算$I(t-\tau)$：

function x = delay(t, x, tau)
    x = [x(2);x(3);x(4);0];
end

接下来，我们定义相关参数：

Lambda = 0.1;
mu = 0.01;
beta = 0.25;
a = 0.1;
gamma = 0.05;
tau = 5;

然后，我们定义初始条件和时间范围：

x0 = [0.9;0.05;0.05;0.0];
tspan = [0 100];

接着，我们使用ode15s求解微分方程组：

sol = dde23(@delay, tau, @SIR, tspan, x0);

最后，我们绘制Hopf分岔图：

N = length(sol.x);
idx = find(diff(sign(sol.y(3,2:N)-sol.y(3,1:N-1))) ~= 0);
figure;
plot(sol.y(3,:), 'b');
hold on;
plot(idx, sol.y(3,idx), 'ro');
xlabel('Time');
ylabel('Infective');
title('Hopf Bifurcation Diagram');

完整代码如下：