求直线y=kx+b与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的交点
时间: 2024-05-19 07:12:12 浏览: 8
将直线方程代入椭圆方程中,得到一个关于$x$和$k$的二次方程:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(kx+b)^2}{b^2}=1$$
化简得:
$$(b^2+a^2k^2)x^2+2ab^2kx+b^2(a^2-b^2)=0$$
解出$x$,使用根公式:
$$x=\frac{-abk\pm\sqrt{b^2a^2k^2-(b^2+a^2k^2)(b^2-a^2)}}{b^2+a^2k^2}$$
将$x$代入直线方程中,即可求得交点的坐标。
相关问题
PYTHON代码实现求直线y=kx+b和圆的交点
假设圆的方程为:(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,其中圆心坐标为 (a,b),半径为 r。
直线的方程为:y=kx+b。
将直线方程代入圆的方程中,得到一个关于 x 的二次方程。解出该方程,即可得到交点的横坐标 x,再将其代入直线方程中,即可求出交点的纵坐标 y。
下面是 Python 代码实现:
```python
import math
def get_intersection(k, b, a, b_, r):
# 计算关于 x 的二次方程的系数
A = 1 + k ** 2
B = 2 * k * (b - b_) - 2 * a
C = a ** 2 + (b - b_) ** 2 - r ** 2
# 计算判别式
delta = B ** 2 - 4 * A * C
# 判断是否有交点
if delta < 0:
return None
# 计算交点的横坐标 x
x1 = (-B + math.sqrt(delta)) / (2 * A)
x2 = (-B - math.sqrt(delta)) / (2 * A)
# 计算交点的纵坐标 y
y1 = k * x1 + b
y2 = k * x2 + b
return (x1, y1), (x2, y2)
```
其中,k、b 分别为直线的斜率和截距;a、b_、r 分别为圆的圆心横坐标、纵坐标和半径。函数返回两个交点的坐标,如果没有交点则返回 None。
直线y=kx+m,k已知且y=kx+m与圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2相交一点,啊a,b,r已知。求截距m,python实现
根据题意,直线y=kx+m可以表示为y=kx+b,其中b为截距。将其带入圆的方程,得到:
(x-a)^2+(kx+b-b)^2=r^2
化简可得:
(k^2+1)x^2+2(ab-k^2a)x+a^2+b^2-r^2=0
由于直线与圆有交点,所以该方程必有实根。因此,该方程的判别式Δ必大于等于0,即:
(2(ab-k^2a))^2-4(k^2+1)(a^2+b^2-r^2)≥0
化简可得:
k^2+1≤(a^2+b^2-r^2)/(ab-a^2)
因此,截距m的取值范围为:
-m≤b≤m
其中,
m=√[(a^2+b^2-r^2)/(k^2+1)]
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