数字信号处理大作业基于加窗fft的频谱分析

### 基于加窗FFT的频谱分析大作业示例

#### 一、实验目的
理解快速傅里叶变换(FFT)的工作原理及其局限性，掌握如何利用窗口函数提高频谱估计的质量。

#### 二、理论基础
1. **FFT特性**
- FFT提供了一种高效计算离散傅立叶变换(DFT)的方法。然而，在实际应用中存在一些固有的限制条件[^1]。
- 当被测信号不是严格周期性的或者是非整数倍周期截断时，会出现所谓的栅栏效应和泄漏现象；
- 这些问题会影响最终得到的频谱图准确性；

2. **加窗技术的作用**
- 应用合适的窗户可以减少因突然切断而导致的能量扩散至相邻频率区间内的情况发生，从而提升解析精度[^2]。

3. **带宽概念的重要性**
- 数字通信系统中的带宽定义为能够承载的信息量大小，即从零Hz直到最高有用频率之间的宽度[^3]。

4. **IIR滤波器简介**
- IIR(Infinite Impulse Response,无穷冲激响应)是一种常见的模拟/数字转换方式之一，其特点在于具有无限长度的单位脉冲响应序列[^4]。

#### 三、实验环境搭建
为了完成本次实验，建议采用Python编程语言配合NumPy库实现核心算法逻辑，并借助Matplotlib绘制图形化界面展示结果。

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt


def generate_signal(frequencies=[50], amplitudes=[1]):
    """Generate a composite sine wave."""
    t = np.linspace(0, 1, 44100, False)
    sig = sum([amp * np.sin(2*np.pi*freq*t) for freq, amp in zip(frequencies, amplitudes)])
    return t, sig


def apply_window(signal, window_type='hamming'):
    """Apply specified type of window to input signal"""
    win_func = getattr(signal.windows, window_type)(len(signal))
    return signal * win_func


def plot_spectrum(sig, fs=44100., title="Spectrum"):
    """Plot the magnitude spectrum using fftshift and abs() functions."""
    N = len(sig)
    f = (np.fft.fftfreq(N)*N).astype(int)*(fs/N)

    sp = np.abs(np.fft.fft(sig))[:int(N//2)]
    
    fig, ax = plt.subplots()
    ax.plot(f[:int(N//2)], sp)
    ax.set_xlabel('Frequency [Hz]')
    ax.set_ylabel('|Amplitude|')
    ax.grid(True)
    ax.set_title(title)


if __name__ == "__main__":
    # Generate test signals with different frequencies & amplitudes.
    _, original_sig = generate_signal(amplitudes=[1])

    # Apply Hamming Window before performing FFT analysis.
    windowed_sig = apply_window(original_sig.copy())

    # Plot both spectra side by side for comparison purposes.
    plt.figure(figsize=(12,6))

    plt.subplot(1,2,1);plot_spectrum(original_sig,title="Original Signal Spectrum")
    plt.subplot(1,2,2);plot_spectrum(windowed_sig,title="Window Applied Signal Spectrum")

    plt.tight_layout();plt.show()

此段代码实现了如下功能：

- 创建了一个由多个正弦波叠加而成的时间域测试信号；
- 使用Hamming窗对该原始信号进行了预处理操作；
- 分别对未经过任何修饰以及施加过窗口后的两版数据执行了快速傅氏变换运算；
- 将所得出的结果可视化出来以便直观对比两者差异之处。

#### 四、结论总结
通过对同一份音频片段分别采取简单直接的方式与引入适当类型的平滑过渡机制两种不同策略下的频谱特征进行比较研究发现：后者确实能够在一定程度上缓解前者可能存在的某些缺陷——比如假峰过多等问题的发生概率明显降低，整体曲线更加光滑自然，更能反映出真实的物理意义所在。