算法设计与分析 动态规划

### 动态规划算法设计与分析

#### 定义与基本概念

动态规划是一种用于解决多阶段决策过程最优化问题的方法[^1]。这种方法通过将复杂的问题分解成更简单的子问题来求解，并存储这些子问题的结果以避免重复计算。

#### 原理概述

该方法的核心在于其最优决策原理，即如果一个问题可以被划分为若干个相互独立的子问题，则整个问题的最佳解决方案由各个子问题的最佳方案组合而成[^2]。这意味着当面临一系列的选择时，每一步都应做出当前条件下最好的选择，最终累积形成全局最佳路径。

#### 特征描述

为了有效应用动态规划解决问题，所面对的任务需具备两个重要特性：

- **重叠子问题**：原问题能够拆分成多个相似的小规模实例；
- **最优子结构性质**：整体解答依赖于局部区域内的最优抉择；也就是说，大范围内的最好结果是由较小范围内各自达到极值的状态累加而得来的[^4]。

#### 设计流程

在具体实现上，通常遵循以下步骤来进行动态规划的设计：

def dynamic_programming(problem):
    # 初始化边界条件
    initialize_base_cases()
    
    # 构建状态转移方程并填充表格
    fill_table_with_optimal_solutions()

    # 返回最终答案
    return get_final_answer_from_table()

此框架展示了如何逐步构建起完整的解空间图谱，在这个过程中不断更新已知信息直至获得目标函数的最大/最小值。