用C++写一个算法，实现多项式乘法，并分析该算法的时间复杂性。

在C++中，可以使用动态数组或矩阵来表示多项式，并使用Karatsuba算法或Horner's method（霍纳法则）来进行多项式的乘法。这里我将展示如何使用霍纳法则实现，因为它的理解起来相对直观，时间复杂性也为O(n^2)，其中n是多项式的最高次数。

#include <vector>
using namespace std;

// 定义多项式项
struct PolynomialTerm {
    int coefficient;
    int exponent;
};

// 多项式乘法的霍纳法则实现
PolynomialTerm polynomialMultiplication(PolynomialTerm a[], PolynomialTerm b[], int aDegree, int bDegree) {
    // 初始化结果多项式的系数和指数
    PolynomialTerm result = {0, 0};
    
    // 对于每个b多项式的系数
    for (int i = 0; i <= bDegree; ++i) {
        // 对于a多项式的每个系数，对应乘积并累加到结果
        for (int j = 0; j <= aDegree; ++j) {
            result.coefficient += a[j].coefficient * pow(b[i].coefficient, (j + i));
            // 更新指数
            result.exponent += j + i;
        }
    }

    return result;
}

// 示例
int main() {
    PolynomialTerm polyA[] = {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}}; // 多项式 A = x^2 + 3x + 5
    PolynomialTerm polyB[] = {{7, 8}, {9, 10}};     // 多项式 B = 7x + 9

    int aDegree = sizeof(polyA) / sizeof(polyA[0]) - 1;
    int bDegree = sizeof(polyB) / sizeof(polyB[0]) - 1;

    PolynomialTerm result = polynomialMultiplication(polyA, polyB, aDegree, bDegree);

    cout << "Product: (" << result.coefficient << ")x^" << result.exponent << endl;
    return 0;
}

在这个例子中，输入是两个多项式的系数和它们的次数。霍纳法则实际上是一种递归的方式，每次只计算当前位的乘积，而不是全部展开后再相乘。然而，由于每个系数都需要与其他所有系数相乘一次，所以总时间复杂度为O(n^2)。