matlab轨迹规划抛物线插值法

在MATLAB中，轨迹规划通常涉及到利用数学模型来生成平滑和连续的运动路径。抛物线插值法（Cubic Spline Interpolation）是一种常用的技术，它将数据点连接起来形成一条光滑的抛物线曲线，以便于控制系统的实时跟踪。以下是使用这种方法的基本步骤：

1. **数据收集**：首先需要一些已知的路径点（通常是位置坐标），以及可能的速度或加速度信息。

2. **构建Spline函数**：`spline`函数在MATLAB中用于创建Spline插值对象。输入数据点，该函数会计算出一组内部节点和相关的系数。

   t = [0 1 2]; % 时间点
   x = [0 1 4]; % 关键点的位置
   spl = spline(t,x);

3. **计算中间点**：通过Spline对象可以方便地获取任意给定时间对应的插值点。例如，`y = interp1(spl,t)`可以在新的时间点上返回相应的轨迹。

4. **优化与调整**：如果需要更平滑的轨迹，可能会对插值多项式进行微调，比如改变其阶数、修改关键点或添加额外约束。

5. **应用到控制系统**：生成的抛物线可以用作机器人或车辆的运动规划，控制系统依据这个轨迹进行运动控制。

相关问题

robotic for matlab 斯坦福机器人末端手坐标从一个位置到另一个位置，计算基于关节空间描述的轨迹规划，利用带抛物线直线段或三次多项式（自己计算参数）的轨迹规划方法进行规划。

好的，这里提供一个简单的MATLAB程序，用于计算基于关节空间描述的轨迹规划，利用带抛物线直线段或三次多项式的轨迹规划方法进行规划。

首先，需要定义机械臂的模型和参数，以及起始位置和目标位置。这里以斯坦福机器人为例，假设机械臂有6个自由度，起始位置为[0 0 0 0 0 0]，目标位置为[pi/2 pi/4 pi/3 pi/2 pi/6 pi/4]。

% 机械臂参数定义
L1 = 0.2; L2 = 0.2; L3 = 0.2; L4 = 0.2; L5 = 0.2; L6 = 0.1;

% 起始位置和目标位置
q_start = [0 0 0 0 0 0];
q_end = [pi/2 pi/4 pi/3 pi/2 pi/6 pi/4];

然后，可以计算起始位置和目标位置之间的直线距离和方向，以及机械臂各关节的起始位置和目标位置。这里采用DH参数法计算机械臂的正运动学，得到机械臂的末端位置。

% 计算起始位置和目标位置之间的直线距离和方向
delta_pos = [0.3 0.3 0.3];
delta_dir = [1 0 0];

% 计算机械臂各关节的起始位置和目标位置
T_start = FK(q_start, L1, L2, L3, L4, L5, L6);
T_end = FK(q_end, L1, L2, L3, L4, L5, L6);
p_start = T_start(1:3, 4);
p_end = T_end(1:3, 4);

接下来，需要计算机械臂各关节的最大速度和加速度限制。这里假设机械臂的最大速度为1 rad/s，最大加速度为1 rad/s^2。

% 计算机械臂各关节的最大速度和加速度限制
v_max = ones(1, 6);
a_max = ones(1, 6);

对于带抛物线直线段的轨迹规划方法，可以采用qscend的工具箱计算出机械臂各关节的速度和加速度曲线，然后根据速度和加速度曲线，计算出机械臂各关节的运动轨迹。这里假设总运动时间为5s。

% 带抛物线直线段的轨迹规划
t_f = 5;  % 总运动时间
[Q, Qd, Qdd] = trapveltraj(q_start, q_end, t_f, 'AccelTime', 0.1, 'EndTime', 0.1, 'VelScale', v_max./pi);

对于三次多项式的轨迹规划方法，可以采用polytraj函数计算出机械臂各关节的位置、速度和加速度曲线，然后根据插值曲线，生成机械臂的运动轨迹。这里同样假设总运动时间为5s。

% 三次多项式的轨迹规划
t_f = 5;  % 总运动时间
[Q, Qd, Qdd] = polytraj([q_start; q_end], [0; t_f], [], [], 'VelocityBoundaryCondition', [v_max; v_max]./pi, 'AccelerationBoundaryCondition', [a_max; a_max]./pi);

最后，可以根据计算出的运动轨迹，生成机械臂的运动轨迹图。

% 生成机械臂的运动轨迹图
figure(1);
plot3([p_start(1) p_end(1)], [p_start(2) p_end(2)], [p_start(3) p_end(3)], 'r-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot3(T_start(1, 4), T_start(2, 4), T_start(3, 4), 'bo', 'MarkerFaceColor', 'b');
plot3(T_end(1, 4), T_end(2, 4), T_end(3, 4), 'go', 'MarkerFaceColor', 'g');
robot.plot(Q', 'workspace', [-1 1 -1 1 -1 1], 'trail', 'r-', 'delay', 0.01);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
legend('Trajectory', 'Start', 'End');

完整的MATLAB程序如下：

% 机械臂参数定义
L1 = 0.2; L2 = 0.2; L3 = 0.2; L4 = 0.2; L5 = 0.2; L6 = 0.1;

% 起始位置和目标位置
q_start = [0 0 0 0 0 0];
q_end = [pi/2 pi/4 pi/3 pi/2 pi/6 pi/4];

% 计算起始位置和目标位置之间的直线距离和方向
delta_pos = [0.3 0.3 0.3];
delta_dir = [1 0 0];

% 计算机械臂各关节的起始位置和目标位置
T_start = FK(q_start, L1, L2, L3, L4, L5, L6);
T_end = FK(q_end, L1, L2, L3, L4, L5, L6);
p_start = T_start(1:3, 4);
p_end = T_end(1:3, 4);

% 计算机械臂各关节的最大速度和加速度限制
v_max = ones(1, 6);
a_max = ones(1, 6);

% 带抛物线直线段的轨迹规划
t_f = 5;  % 总运动时间
[Q, Qd, Qdd] = trapveltraj(q_start, q_end, t_f, 'AccelTime', 0.1, 'EndTime', 0.1, 'VelScale', v_max./pi);
% 三次多项式的轨迹规划
% t_f = 5;  % 总运动时间
% [Q, Qd, Qdd] = polytraj([q_start; q_end], [0; t_f], [], [], 'VelocityBoundaryCondition', [v_max; v_max]./pi, 'AccelerationBoundaryCondition', [a_max; a_max]./pi);

% 生成机械臂的运动轨迹图
figure(1);
plot3([p_start(1) p_end(1)], [p_start(2) p_end(2)], [p_start(3) p_end(3)], 'r-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot3(T_start(1, 4), T_start(2, 4), T_start(3, 4), 'bo', 'MarkerFaceColor', 'b');
plot3(T_end(1, 4), T_end(2, 4), T_end(3, 4), 'go', 'MarkerFaceColor', 'g');
robot.plot(Q', 'workspace', [-1 1 -1 1 -1 1], 'trail', 'r-', 'delay', 0.01);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
legend('Trajectory', 'Start', 'End');

其中，FK函数用于计算机械臂的正运动学，代码如下：

function T = FK(q, L1, L2, L3, L4, L5, L6)
% 机械臂正运动学函数
% q: 机械臂关节角度，单位为rad
% L1-L6: 机械臂各杆件长度

q1 = q(1); q2 = q(2); q3 = q(3); q4 = q(4); q5 = q(5); q6 = q(6);

T01 = [cos(q1) -sin(q1) 0 0; sin(q1) cos(q1) 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];
T12 = [cos(q2) -sin(q2) 0 0; 0 0 -1 0; sin(q2) cos(q2) 0 0; 0 0 0 1];
T23 = [cos(q3) -sin(q3) 0 L2; sin(q3) cos(q3) 0 0; 0 0 1 L1; 0 0 0 1];
T34 = [cos(q4) -sin(q4) 0 L4; sin(q4) cos(q4) 0 L3; 0 0 1 L5; 0 0 0 1];
T45 = [cos(q5) -sin(q5) 0 0; 0 0 -1 0; sin(q5) cos(q5) 0 0; 0 0 0 1];
T56 = [cos(q6) -sin(q6) 0 L6; sin(q6) cos(q6) 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];

T = T01 * T12 * T23 * T34 * T45 * T56;
end

以上程序仅供参考，具体实现可以根据自己的需求进行修改。

机械臂笛卡尔空间曲线

### 机械臂在笛卡尔空间中的运动规划与轨迹生成方法

#### 定义与基本概念
机械臂的笛卡尔空间轨迹规划涉及定义末端执行器（EEF）在三维空间内的路径。此过程不仅考虑位置还涉及到方向，即六自由度的位置和姿态描述[^1]。

#### 基本原理
为了实现平滑且高效的路径，在笛卡尔空间内通常采用多项式插值法来构建连续的时间函数表示位姿变化。这些时间函数可以是线性的、抛物线型或是更高阶的形式，具体取决于应用需求以及期望的速度和加速度特性。

对于复杂任务而言，可能还需要引入中间过渡点以确保整个动作序列连贯自然；同时也要注意避开障碍物并满足动力学约束条件。

#### MATLAB 实现示例
下面给出一段简化版基于三次样条曲线拟合算法用于连接两个指定构形之间转换过程的MATLAB代码：

function traj = cartesian_trajectory(startPose, endPose, totalTime)
    % startPose 和 endPose 是 4x4 的齐次变换矩阵
    timeVector = linspace(0, totalTime, 100);
    
    % 提取起始和结束位置向量
    startPos = startPose(1:3, 4);
    endPos = endPose(1:3, 4);

    % 计算各轴上的三阶B样条系数
    coeffs = bspline_coefficients(totalTime); 

    % 构建轨迹数组
    positions = zeros(length(timeVector), 3);
    for i = 1:length(timeVector)
        t = timeVector(i);
        positions(i,:) = eval_cubic_spline(coeffs, startPos, endPos, t);
    end
    
    function c = bspline_coefficients(T)
        A = [T^3 T^2 T 1; ...
             3*T^2 2*T 1 0;...
             0   0   0  1;...
             0   0   1  0];
        b = [endPos';zeros(2,1)];
        c = inv(A)*b;
    end
    
    function p = eval_cubic_spline(c, P0, Pf, t)
        B = [t^3;t^2;t;1];
        p = (Pf-P0)'*c*B + P0';
    end
    
    traj.Positions = positions;
end

上述程序片段展示了如何利用三阶B样条创建一条从初始状态到目标状态之间的光滑路径。实际工程实践中可能会更加复杂，包括但不限于加入旋转分量处理、优化求解最小化能量消耗等问题。