请解释复数在复平面上的几何表示以及其旋转特性，并说明欧拉公式在此过程中的作用。

复数在复平面上的表示通常采用笛卡尔坐标系，其中实部表示水平轴，虚部表示垂直轴，形成一个二维平面，称为复平面或阿尔冈图。每个复数可以表示为平面上的一个点，也可以表示为从原点出发的一个向量。复数的几何表示不仅直观地描述了复数的位置，还揭示了复数的模和辐角，模表示复数向量的长度，辐角则表示该向量与实轴正方向的夹角。

参考资源链接：[北邮工数大二复变函数总结与应用实例](https://wenku.csdn.net/doc/64658125543f844488aa50bc?spm=1055.2569.3001.10343)

在复平面上，复数的乘法具有旋转和放缩的几何解释。例如，如果我们将复数a + bi与另一个复数c + di相乘，根据复数乘法的规则，结果将位于复平面上，其模为|a + bi|和|c + di|的乘积，辐角为a + bi的辐角加上c + di的辐角。这意味着复数乘法等价于在复平面上的向量旋转和长度的缩放。

欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ在复数的几何解释中扮演了关键角色。它提供了一种将复数的指数形式与三角函数联系起来的方法，即e^(iθ)在复平面上代表的是单位圆上的一个点，其辐角为θ。当我们考虑形如reiθ的复数时，其中r是模，θ是辐角，这实际上表示复平面上从原点出发，长度为r，与实轴正方向夹角为θ的向量。通过欧拉公式，我们可以将复数的指数形式与三角形式相互转换，从而在几何上直观地理解复数运算。

因此，当我们对一个复数进行乘法运算时，如果乘以e^(iθ)，在复平面上就相当于将原复数向量按逆时针方向旋转θ弧度。这就是欧拉公式在解释复数旋转特性中的作用。通过这样的旋转，可以对复数进行复杂的几何操作，如信号处理中的频率变换，电路分析中的振荡器设计等。学习如何应用欧拉公式和复数的几何表示，对于深入理解复变函数理论以及其在工程和科学中的应用至关重要。想要更全面地掌握这些概念及其应用，推荐参阅《北邮工数大二复变函数总结与应用实例》一书，它详细解释了复数理论和复变函数，并通过实例展现了它们在实际问题中的应用。

参考资源链接：[北邮工数大二复变函数总结与应用实例](https://wenku.csdn.net/doc/64658125543f844488aa50bc?spm=1055.2569.3001.10343)