|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)B

这个式子是矩阵的谱范数的性质，其中A和B是n阶方阵，λ是一个实数。谱范数是矩阵的所有特征值的绝对值的最大值。因此，|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|，其中|A|和|B|分别是矩阵A和B的行列式的绝对值。这个性质可以通过以下步骤证明：
1. 由于A和B都是n阶方阵，它们都有n个特征值。设λ1, λ2, ..., λn是A的特征值，μ1, μ2, ..., μn是B的特征值。
2. 对于任意向量x，有|(λA+(1-λ)B)x|≤|λA x|+|(1-λ)B x|，根据矩阵范数的定义，有|λA+(1-λ)B|≤λ|A|+(1-λ)|B|。
3. 另一方面，对于任意向量y，有|(λA+(1-λ)B)y|≥λ|A y|+(1-λ)|B y|，因此|λA+(1-λ)B|≥λ|A|+(1-λ)|B|。
4. 综上所述，|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|，证毕。

相关问题

设四阶矩阵A与B相似，A的特征值为1/2、1/3、1/4、1/5，则｜B^-1 -E｜=

根据矩阵相似的性质，相似矩阵有相同的特征值，因此矩阵B的特征值也为1/2、1/3、1/4、1/5。

由于B与A相似，因此它们有相同的特征多项式，即：

|λE-B| = |λE-A|

将λ分别取1/2、1/3、1/4、1/5代入上式，可得：

(1/2-λ)(1/3-λ)(1/4-λ)(1/5-λ) = (1/2-λ)(1/3-λ)(1/4-λ)(1/5-λ)

因此，|B-E| = 1。

又因为矩阵B可逆，所以|B|≠0，从而有：

|B^-1 - E| = |B^-1| |B-E| = 1/|B| = 1/(1/2×1/3×1/4×1/5) = 120

因此，|B^-1 - E| = 120。