quad-spectrum

Quad-Spectrum是一种面向移动通信场景的频谱感知技术，它可以通过感知无线电频谱中的信号，分析和识别信号类型，以支持无线电频谱的合理利用和资源分配。这种技术在无线通信领域具有广泛的应用，包括网络优化、频谱监测、频谱管理等。

Quad-Spectrum技术可以通过接收多个天线输入信号并对其进行处理，从而提高信号检测和分类的准确性。它可以分析不同频段内的信号，包括来自不同移动终端的信号、不同卫星系统的信号、各种噪声和干扰等。通过这种方式，Quad-Spectrum技术可以提高无线电频谱的利用率，减少无线电频谱的浪费，提高无线通信的质量和效率。

相关问题

绘制矩形脉冲t)-的拉普拉斯变换的幅度曲面图，并与该信号的傅里叶变换的幅度谱曲线进行比较

### 绘制矩形脉冲信号的拉普拉斯变换幅度曲面图并对比傅里叶变换

为了完成这一任务，可以采用MATLAB或Python两种编程环境之一。下面分别给出这两种环境下具体的实现方法。

#### MATLAB 实现方案

在MATLAB环境中，可以通过定义矩形脉冲函数及其对应的拉普拉斯变换表达式来计算不同s平面位置上的响应值，并利用`meshgrid()`创建网格数据用于三维绘图；对于傅里叶变换部分，则可以直接调用内置fft()函数获取离散时间序列下的频域特性[^1]。

% 定义变量范围
t = linspace(-2, 2, 1000); % 时间轴向量
sigma = linspace(-5, 5, 100);
omega = linspace(-5*pi, 5*pi, 100);

% 创建二维网格矩阵
[Sigma,Omega] = meshgrid(sigma, omega);

% 计算拉普拉斯变换的结果
for i=1:length(t)
    f(i) = rectpuls(t(i), 1); % 矩形脉冲信号
end
F_laplace = zeros(size(Sigma));
for k=1:size(F_laplace,1)
    for l=1:size(F_laplace,2)
        F_laplace(k,l)=trapz(t,f.*exp(-(Sigma(l)+j*Omega(k))*t)); 
    end
end

figure;
surf(Sigma, Omega/pi, abs(F_laplace),'EdgeColor','none');
title('Laplace Transform Magnitude Surface Plot of Rectangular Pulse Signal');
xlabel('\sigma'); ylabel('\omega/\pi'); zlabel('|F(s)|');

% 对比傅里叶变换结果
N=length(f);
Fs=1/(mean(diff(t))); % Sampling frequency based on t vector spacing
Y=fftshift(fft(f))/N; % Normalize FFT result by N and shift zero-frequency component to center
f_shift=(-N/2:N/2-1)*(Fs/N);

subplot(2,1,2);
plot(f_shift,F_abs,'LineWidth',1.5);
axis tight;
title('Fourier Transform Amplitude Spectrum Comparison with Laplace Result');
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('|F(\omega)|');

#### Python 实现方案

使用Python时推荐借助SciPy库中的积分工具以及NumPy来进行数值运算，而Matplotlib则是用来展示图形的最佳选择。这里同样先构建矩形脉冲的时间序列，再基于此求得其拉普拉斯变换后的复数形式，在此基础上得到绝对值得到所需表面图；至于傅里叶变换方面则可通过快速傅立叶变换算法获得近似解。

import numpy as np
from scipy.integrate import quad_vec
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


def laplace_transform(func, s_vals):
    """Compute the Laplace transform numerically."""
    def integrand(t): return func(t)*np.exp(-s_vals*t)

    real_part = lambda t: np.real(integrand(t))
    imag_part = lambda t: np.imag(integrand(t))

    reals = []
    imags = []

    for val in s_vals:
        res_real = quad_vec(real_part, a=-np.inf, b=np.inf)[0]
        res_imag = quad_vec(imag_part, a=-np.inf, b=np.inf)[0]

        reals.append(res_real)
        imags.append(res_imag)

    results = np.array(reals) + 1j * np.array(imags)
    
    return results


# Define rectangular pulse function
rect_pulse = lambda t: ((abs(t)<=0.5).astype(float))

time_domain_samples = np.linspace(-2, 2, num=1000)
signal_values = list(map(rect_pulse, time_domain_samples))

fig = plt.figure(figsize=(14,7))

ax1 = fig.add_subplot(121, projection='3d')
sigmas = np.linspace(-5, 5, 100)
omegas = np.linspace(-5*np.pi, 5*np.pi, 100)
SIGMA, OMEGA = np.meshgrid(sigmas, omegas)
S_VALS = SIGMA + 1j*OMEGA.flatten()

laplace_results = laplace_transform(lambda t: rect_pulse(t), S_VALS.reshape((-1,)))

Z = abs(laplace_results).reshape(SIGMA.shape)

surf = ax1.plot_surface(SIGMA, OMEGA / np.pi, Z,
                       cmap="viridis", edgecolor='none')

plt.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)
ax1.set_xlabel(r'$\sigma$')
ax1.set_ylabel(r'$\omega /\pi $')
ax1.set_zlabel(r'|$\mathcal{L}\{\mathrm{Rect}(t)\}|$', rotation=90)
ax1.set_title("Magnitude surface plot of Laplace Transform")

ft_result = np.fft.fft(signal_values)/len(time_domain_samples)
freq_axis = np.fft.fftfreq(len(time_domain_samples),
                          d=time_domain_samples[1]-time_domain_samples[0])

ax2 = fig.add_subplot(122)
ax2.plot(freq_axis, np.abs(ft_result), label="FT magnitude spectrum")
ax2.legend()
ax2.grid(True)
ax2.set_xlim([-10, 10])
ax2.set_ylim([0, max(np.abs(ft_result))+0.1])
ax2.set_xlabel("Frequency [Hz]")
ax2.set_ylabel("|F(w)|")
ax2.set_title("Comparison between FT amplitude spectra & LT result")

plt.tight_layout()
plt.show()