无迹卡尔曼滤波轨迹追踪

### 无迹卡尔曼滤波在轨迹追踪中的应用

#### 原理概述
无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter, UKF）是一种非线性状态估计技术，特别适用于处理具有显著非线性的动态系统。相比于传统的扩展卡尔曼滤波器（EKF），UKF通过选择一组确定性的样本点（称为sigma点）来近似系统的概率分布，从而更精确地捕捉到非线性变换后的统计特性[^1]。

这些sigma点不仅包含了均值和协方差的信息，还能够反映原始高斯分布的形状特征，在经过非线性函数映射之后重新计算得到新的均值和协方差作为预测的状态向量及其不确定性描述。这种方法避免了对雅可比矩阵求导的需求，简化了算法设计并提高了数值稳定性[^2]。

#### 实现方法
为了具体说明如何利用UKF进行轨迹追踪，下面给出了一段MATLAB代码片段，展示了基于UKF实现惯性导航系统（INS）与全球定位系统（GPS）松组合的方式来进行位置和速度误差校正的过程：

% 初始化参数设置
n = size(x0); % 状态维度
alpha = 0.001; beta = 2; kappa = 0;
lambda = alpha^2 * (n + kappa) - n;

% 计算Sigma Points权重
Wm = [lambda/(n+lambda), ones(1,2*n)*(1/(2*(n+lambda)))];
Ws = Wm;
Ws(1) = Ws(1)+1-alpha^2+beta;

while t < Tfinal
    % 时间更新阶段
    X = generate_sigma_points(x,P,Wm);
    
    for i=1:(2*n+1)
        X_pred(:,i)=f(X(:,i)); % 预测模型
    end
    
    x_pred = sum(Wm.*X_pred,2);
    P_pred = compute_covariance(X_pred,x_pred,Ws,Q);

    % 测量更新阶段
    Z = h(X_pred); % 测量模型
    z_hat = sum(Wm.*Z,2);
    S = compute_cross_covariance(Z,z_hat,Ws,R);
    K = P_pred*inv(S)*S';

    y = z-z_hat;
    x = x_pred + K*y;
    P = P_pred-K*S*K';
end

上述伪代码中`generate_sigma_points()`负责生成初始sigma points；`compute_covariance()`, `compute_cross_covariance()`分别用来估算先验态变量间的协方差以及交叉项之间的关系；而`f()`代表过程转移函数，`h()`则是测量方程。整个循环迭代过程中不断调整状态估计值直至完成全部数据序列的处理[^3]。