Multinomial似然函数

Multinomial似然函数是一种用于描述多类别离散数据的概率模型的似然函数。它假设每个类别的观测结果是独立的，并且每个类别的观测结果服从一个多项分布。

假设有K个类别，每个类别的概率为p1, p2, ..., pK（满足p1 + p2 + ... + pK = 1）。对于一个样本，它属于第i个类别的概率为pi，其中pi是一个介于0和1之间的值。

给定一个包含N个样本的数据集，每个样本都有一个对应的类别标签yi（yi取值为1到K），Multinomial似然函数可以表示为：

L(p1, p2, ..., pK) = ∏ (pi1^n1i * pi2^n2i * ... * piK^nKi)

其中，ni表示数据集中属于第i类别的样本数量，∏表示对所有样本的乘积运算。

Multinomial似然函数的目标是求解最大似然估计，即找到使得似然函数取得最大值的参数p1, p2, ..., pK。这可以通过最优化算法（如梯度下降、EM算法等）来实现。最大似然估计可以用于分类问题中的参数学习或生成模型的训练。