求函数z = x.^2 + 2 * y.^2在圆周x^2+y^2=1上的最值

为了找到函数 \( z = x^2 + 2y^2 \) 在圆 \( x^2 + y^2 = 1 \) 上的最值，我们需要使用拉格朗日乘数法（Lagrange multipliers）。这个方法可以帮助我们在约束条件下寻找极值点。

首先，我们要构造一个新的函数，包含原函数 \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 \) 和约束条件 \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 \) 的乘积：

\[ L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(g(x, y)) = x^2 + 2y^2 - \lambda(x^2 + y^2 - 1) \]

然后，我们对 \( L \) 关于 \( x, y, \lambda \) 分别求偏导并令它们等于0，得到以下方程组：

1. 对 \( x \): \( \frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 2\lambda x = 0 \)
2. 对 \( y \): \( \frac{\partial L}{\partial y} = 4y - 2\lambda y = 0 \)
3. 对 \( \lambda \): \( \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0 \)

解这个方程组，我们将找到满足圆心条件 \( x^2 + y^2 = 1 \)，同时使得 \( z \) 达到极值的点。

让我们计算一下这些偏导数：

syms x y lambda
f = x^2 + 2*y^2;
g = x^2 + y^2 - 1;

% 拉格朗日函数
L = f - lambda*g;

% 对L关于x、y和lambda求偏导
df_dx = diff(L, x);
df_dy = diff(L, y);
dg_dx = diff(g, x);
dg_dy = diff(g, y);

% 解方程组
eqns = [df_dx == 0, df_dy == 0, dg_dx];
sol = solve(eqns, [x, y, lambda]);

运行这段代码后，你会得到一组可能的解，代表极值点。由于存在局部最小值和局部最大值，你需要检查所有的解，看看哪个对应的是全局最小值或最大值。这通常涉及到比较 \( z = f(x, y) \) 的值：

% 计算Z的值
z_values = subs(f, sol{:});

% 找到最小和最大值
[min_z, min_index] = min(z_values);
[max_z, max_index] = max(z_values);

% 输出结果
fprintf('最小值: %f (at (%f, %f))\n', min_z, sol{x}(min_index), sol{y}(min_index));
fprintf('最大值: %f (at (%f, %f))\n', max_z, sol{x}(max_index), sol{y}(max_index));

完成以上步骤后，你可以得出函数在圆周 \( x^2 + y^2 = 1 \) 上的最值点及其对应的 \( z \) 值。