最小二乘法 三维 拟合圆 c++ eigen

最小二乘法是一种统计学方法，用于寻找数据点与其预测函数之间的最佳拟合。在三维空间中，如果你有一组二维数据点，并希望找到一个圆（由圆心坐标和半径表示）作为这些点最接近的模型，可以使用最小二乘法来确定这个圆的参数。

在C++中，Eigen是一个线性代数库，它可以帮助处理矩阵运算，包括最小二乘问题。你可以使用Eigen的矩阵对象和相关的算法来进行三维数据的拟合操作。首先，你需要准备一个包含三个变量（x、y、z）的数据集，然后构建一个表示三维点的向量矩阵，以及一个表示圆方程（如 (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2）的矩阵形式。

下面是一个简化的步骤：
1. 创建Eigen矩阵`MatrixXd X`存储三维数据点，`MatrixXd Y`存储对应的二维数据。
2. 定义一个二维向量`VectorXd h`代表圆心的初始估计（h和k），和一个标量`double r`代表初始估计的半径。
3. 使用Eigen的`LeastSquares`函数或自定义迭代求解，求解圆心(h,k)和半径r，使得所有数据点到圆的垂直距离平方和最小。

#include <Eigen/Dense>

// 假设X, Y已准备就绪
MatrixXd X, Y;
VectorXd h(2), r(1);

// 使用Eigen最小二乘求解
MatrixXd A = (X.rowwise() - MatrixXd::Zero(X.rows(), 2)) * (X.rowwise() - MatrixXd::Zero(X.rows(), 2)).transpose(); // 点到圆心距离的平方矩阵
VectorXd b = Y.squaredNorm(); // 每一点到原点的距离平方

EigenSolver<MatrixXd> esolver(A);
h = esolver.eigenvectors().col(0).head<h.size>();
r = sqrt(b.dot(esolver.eigenvalues().eval()));