撰写函数，接受一个无重复有序正整数列表coins表示不同的硬币面额；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的所有硬币组合 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。你可以认为每种硬币的数量是无限的。

编写这样的函数，通常会采用动态规划或回溯算法来解决。下面是一个Python的解决方案：

def coinChange(coins, amount):
    # 创建一个二维数组 dp，其中 dp[i] 表示凑成 amount 需要的最小硬币数目
    dp = [0] + [float('inf')] * amount

    # 初始化基本情况，当金额为0时，不需要硬币
    dp[0] = 0

    # 从1到amount遍历所有可能的金额
    for i in range(1, amount+1):
        # 尝试用每种硬币替换当前金额的一部分
        for coin in coins:
            if coin <= i:
                # 更新dp值，取当前状态和不用这个硬币需要的硬币数两者中的较小值
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

    # 如果amount无法凑出，返回-1，否则返回所需的最小硬币数
    return dp[-1] if dp[-1] != float('inf') else -1

# 示例
coins = [1, 2, 5]
amount = 11
print(coinChange(coins, amount))  # 输出: 3 (1枚5元硬币，1枚2元硬币，2枚1元硬币)

相关问题

用python写零钱兑换问题，给定一个正整数coin,表示总金额，给定一个整数数组coins,用元素表示现有的金额面值，计算并返回可以凑成总金额所需的最小硬币个数，（认为各种面值的金币个数是无限的） 如果给出的总金额无法兑换成现有的零钱，则返回-1。

好的，这是一个很经典的动态规划问题。我可以给你提供一个Python的解决方案：

def coinChange(coins, amount):
    # 首先初始化一个数组dp，长度为 amount+1
    dp = [float('inf')]*(amount+1)
    # 定义 dp[0] 为 0，因为总金额为0时，不需要任何硬币
    dp[0] = 0
    # 遍历 1 到 amount 的所有金额
    for i in range(1, amount+1):
        # 遍历所有的硬币面值
        for coin in coins:
            # 如果当前硬币面值小于等于当前的金额，那么可以尝试使用这个硬币
            if coin <= i:
                # 状态转移方程：dp[i] 表示凑成金额 i 需要的最小硬币数
                # min(dp[i], dp[i-coin]+1) 表示使用当前硬币可以得到更小的硬币数量
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-coin]+1)
    # 如果 dp[amount] 没有被更新，说明无法凑成总金额，返回-1
    return -1 if dp[amount] == float('inf') else dp[amount]

你可以调用这个函数，传入硬币面值和总金额，它会返回最小硬币数。例如：

coins = [1, 2, 5]
amount = 11
print(coinChange(coins, amount))  # 输出 3，因为使用 5、5、1 这三个硬币可以凑成 11

输入整数钱币zuhe

### 输入整数钱币组合算法实现方法

#### 贪心算法解决最小钱币张数问题
当面对换零钱并寻找最少数量的钱币时，可以采用贪心算法。该算法的核心在于每次尽可能多地使用面额最大的货币单位直到满足条件为止[^1]。

对于给定的一组不同面值的硬币以及一个目标金额，在每一步操作中选取不超过剩余总额的最大可能面值硬币加入解集中，直至凑足所需支付数额或无法继续选择更大面值为止。这种方法适用于某些特定情况下的最优解获取，比如美国现行流通体系中的标准纸币和硬币配置下总是能得出全局最优解；然而需要注意的是，并不是所有的货币系统都适合用这种方式解决问题，因为存在反例使得局部贪婪策略不能保证最终获得整体最佳结果。

def minCoinChange(coins, amount):
    coins.sort(reverse=True)
    count = 0
    
    for coin in coins:
        while amount >= coin:
            amount -= coin
            count += 1
            
    return count if amount == 0 else "No solution"

此段代码实现了上述提到的方法，通过先对可选硬币列表按降序排列再逐一遍历尝试减去最大可用数值来计算所需的最少硬币数目。

#### 动态规划处理钱币组合总数问题
如果目的是找出组成某个固定价值的所有可能性，则应考虑动态规划而非单纯依赖于贪心原则。这类题目通常被定义为背包类问题的一个变种形式，其中状态转移方程描述了从前 i 类物品（这里指代各种类型的硬币）中挑选若干件放入容量 j 的背包里有多少种不同的方式能够恰好填满它[^3]。

设 `dp[i][j]` 表达式表示仅限前 i 种硬币用来拼凑总金额刚好等于 j 的方案个数：

- 如果不取第 i 种硬币，则有 `dp[i−1][j]` 种；
- 若决定拿走至少一枚编号为 i 的硬币，则剩下还需要补上 `(j − vi)` 才能满足要求，因此额外增加 `dp[i][(j-vi)]` 方案数作为补充项之一。

综上所述，得到递推关系如下：
\[ dp[i][j]=\begin{cases}
\text{if } j<vi & dp[i-1][j]\\
\text{else}& dp[i-1][j]+dp[i][j-v_i]
\end{cases}
\]

边界初始化设置为：任何正整数都无法由零种类别的硬币构成，而空集正好对应着唯一一种表达零的方式——什么都不放进去。

def count_combinations(n, sums, denominations):
    # Initialize DP table with zeros.
    dp = [[0]*(sums+1) for _ in range(len(denominations)+1)]
    
    # Base case initialization: There's one way to make the target sum=0 (by choosing no elements).
    for i in range(len(denominations)+1):  
        dp[i][0] = 1
        
    for i in range(1,len(denominations)+1):
        for s in range(1,sums+1):
            if s>=denominations[i-1]:
                dp[i][s]=dp[i-1][s]+dp[i][s-denominations[i-1]]
            else:
                dp[i][s]=dp[i-1][s]
                
    return dp[-1][-1]

这段 Python 函数展示了基于二维数组构建的状态表更新过程，用于记录到达每一个中间节点的有效路径计数，从而解决了求解指定额度内所有合法分拆模式的数量统计任务。