在处理图像处理和机器学习问题时，特征值和特征向量如何发挥作用？请结合线性代数的原理进行解释。

特征值和特征向量在数学的许多分支中都扮演着关键角色，特别是在计算机科学中，它们是理解数据本质、设计算法以及优化性能的重要工具。例如，在图像处理领域，特征值和特征向量可以用来分析图像的主成分，这是主成分分析（PCA）方法的核心，用于数据降维和压缩。在PCA中，数据集的协方差矩阵的特征值代表了数据在对应特征向量方向上的方差大小，特征向量则指示了数据的主要变化方向。因此，通过选取那些对应较大特征值的特征向量，我们可以保留数据的主要特征，同时减少数据的维度。

参考资源链接：[Linear Algebra Done Right Solutions Manual by Sheldon Axler (z-lib.org).pdf](https://wenku.csdn.net/doc/645d9be895996c03ac442148?spm=1055.2569.3001.10343)

在机器学习中，特征值和特征向量同样重要。例如，在支持向量机（SVM）算法中，核技巧的实现依赖于计算样本数据的核矩阵的特征值和特征向量，以确定最优的超平面。此外，在网络分析中，特征值和特征向量用于解释链接结构的重要性，如在Google的PageRank算法中，页面的排名与链接到该页面的网页的特征值有关。

要深入理解特征值和特征向量的计算以及它们在计算机科学中的应用，可以参考《Linear Algebra Done Right Solutions Manual by Sheldon Axler》这本书的解决方案。这本书通过清晰的解释和丰富的实例，帮助读者从几何的角度理解线性代数的概念，是学习线性代数不可多得的好材料。在解决实际问题时，可以先利用这本书提供的知识基础，然后结合具体应用领域的材料进行深入学习和实践，以便更好地掌握特征值和特征向量在计算机科学中的应用。

参考资源链接：[Linear Algebra Done Right Solutions Manual by Sheldon Axler (z-lib.org).pdf](https://wenku.csdn.net/doc/645d9be895996c03ac442148?spm=1055.2569.3001.10343)