opencv 三点拟合圆

在OpenCV中，通过“三点定圆”（也称作“Fisher线性化”或“Daugman八点法”）可以估计二维平面上的一个圆。这种方法通常用于图像处理中，例如特征检测、物体识别等场景，当你知道三个点大致位于圆周上时。

步骤如下：

1. **数据准备**：收集三个已知点（通常是图像中的三个像素坐标），假设它们分别为 \( P_1(x_1, y_1) \), \( P_2(x_2, y_2) \), 和 \( P_3(x_3, y_3) \)。

2. **构建矩阵**：创建一个8x9矩阵A，其中前6行表示每个点到圆心坐标的差分，第7行是所有差分平方和的一半（这将简化计算过程），最后一行全是1（代表常数项）。

\[
A = \begin{bmatrix}
x_1^2 & y_1^2 & 1 & x_1 & y_1 & 0 \\
x_2^2 & y_2^2 & 1 & x_2 & y_2 & 0 \\
x_3^2 & y_3^2 & 1 & x_3 & y_3 & 0 \\
-2x_1 & -2y_1 & 0 & -2 & 0 & 1 \\
-2x_2 & -2y_2 & 0 & 0 & -2 & 1 \\
-2x_3 & -2y_3 & 0 & 2 & 0 & 1 \\
\frac{1}{2}(x_1^2 + y_1^2 + 1) & \frac{1}{2}(x_2^2 + y_2^2 + 1) & \frac{1}{2}(x_3^2 + y_3^2 + 1) & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]

3. **求解**：解线性方程组 \( A\cdot C = 0 \)，其中 \( C \) 是一个9维向量，包含圆的半径r和圆心的x,y坐标。这通常通过SVD（奇异值分解）或QR分解等数值方法实现。

4. **检查有效性**：验证所得到的解是否合理，比如半径是否大于零，圆心坐标是否落在给定点的可行区域内。

import cv2
import numpy as np

# 示例点
points = [(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)]

# 计算A矩阵并求解
A = np.zeros((8, 9))
A[:6] = points
A[6, :3] = np.array([1/2]*3)
A[-1, :-1] = -1/2 * np.ones(5)
C, _, _ = np.linalg.svd(A)

# 提取有效圆的参数
radius = np.sqrt(C[8])
center_x = C[6]
center_y = C[7]