已知系统微分方程y"(1)+4ay'(1)+4y(t)=4f(1)，请画出在0~10s内，a分别取0、0.25、0.5、1、2时的阶跃响应图像（要求所有的曲线在一个坐标系中同时显示）用matlab求解用step函数，

在Matlab中，为了画出给定线性常系数齐次微分方程 \( y''(t) + 4ay'(t) + 4y(t) = 0 \) 的阶跃响应图像，当 \( f(t) = \delta(t-1) \) 且 \( a \) 取不同的值，我们可以按照以下步骤操作：

1. 定义方程：首先，你需要声明 \( a \) 的数组，如 `a = [0 0.25 0.5 1 2]`。
2. 创建函数：由于这是一个一阶和二阶的线性微分方程，可以创建一个LTI系统的传递函数模型，例如 `sys = tf([1 4*a], [1 4 0])`。
3. 设置初始条件：因为阶跃响应是从零初始状态开始的，所以设置 `initialCondition = [0;0]` 或者你可以直接用 `[]` 因为步函数已经默认了零初始条件。
4. 使用 `step` 函数计算阶跃响应：`response = step(sys, t)`，其中 `t = linspace(0, 10, 1000)` 是时间向量，通常选择足够密集以得到平滑的图形。
5. 绘制图像：最后，使用 `plot(t, response)` 来绘制所有曲线在同一图上，可以使用不同颜色或线型标识不同的 \( a \) 值。

示例代码可能会像这样：

% 参数定义
a_values = [0 0.25 0.5 1 2];
t = linspace(0, 10, 1000);

% 初始化系统
sys_array = cellfun(@(a) tf([1 4*a], [1 4 0]), a_values, 'UniformOutput', false);
% 计算阶跃响应
responses = cellfun(@(sys) step(sys, t), sys_array, 'UniformOutput', false, 'OutputArray', true);

% 绘制所有曲线
figure;
hold on;
for i = 1:length(a_values)
    plot(t, responses{i}, 'LineWidth', 1.5, 'Color', sprintf('b-%d', i)); % 更改颜色和线型
end
hold off;

% 添加标题和标签
xlabel('Time (s)');
ylabel('Response');
title(sprintf('Step Response for Different a Values (0 to %.2f)', max(a_values)));
legend(cellstr(num2str(a_values)));

% 显示图形

运行上述代码后，你应该能看到一张包含五条曲线的图表，展示了当 \( a \) 分别取不同值时阶跃响应的变化。