矩阵相似的充要条件及性质
时间: 2023-10-10 22:09:39 浏览: 2828
矩阵相似的充要条件是它们有相同的特征值和相同的特征向量。具体来说,设 A 和 B 是 n 阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵 P,使得 P^{-1}AP = B,则称 A 和 B 是相似的。
矩阵相似具有以下性质:
1. 相似矩阵具有相同的特征值。设 A 和 B 是相似矩阵,它们有相同的特征值 λ_i。这是因为 P^{-1}AP 和 B 有相同的特征值,而 P^{-1}AP 和 B 是相似的,所以 A 和 B 有相同的特征值。
2. 相似矩阵具有相同的特征向量。设 A 和 B 是相似矩阵,它们有相同的特征值 λ_i 和对应的特征向量 v_i。这是因为 P^{-1}AP 和 B 有相同的特征向量,而 P^{-1}AP 和 B 是相似的,所以 A 和 B 有相同的特征向量。
3. 相似矩阵具有相同的迹。设 A 和 B 是相似矩阵,则它们的迹 Tr(A) 和 Tr(B) 相等。这是因为 Tr(A) = Tr(P^{-1}AP) = Tr(P(P^{-1}AP)) = Tr(PP^{-1}AP) = Tr(A)。
4. 相似矩阵具有相同的行列式。设 A 和 B 是相似矩阵,则它们的行列式 det(A) 和 det(B) 相等。这是因为 det(A) = det(P^{-1}AP) = det(P^{-1})det(A)det(P) = det(A)。
5. 相似矩阵具有相同的秩。设 A 和 B 是相似矩阵,则它们的秩 rank(A) 和 rank(B) 相等。这是因为矩阵相似不改变矩阵的秩。
需要注意的是,相似矩阵是一个等价关系,即满足反身性、对称性和传递性。也就是说,对于任意的矩阵 A,它和自身是相似的;如果 A 和 B 是相似的,则 B 和 A 也是相似的;如果 A 和 B 是相似的,B 和 C 是相似的,则 A 和 C 也是相似的。
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