可逆阵a的秩和迹之间有什么关系
时间: 2023-09-17 12:02:24 浏览: 268
可逆矩阵a的秩和迹之间有以下关系:
根据矩阵的性质,一个n阶方阵a可逆的条件是它的行列式不等于0,即det(a)≠0。
由线性代数的基本定理可知,行列式不等于0意味着矩阵的秩满足rank(a)=n,即秩等于矩阵的阶数。
另一方面,矩阵的迹(trace)定义为主对角线上各元素的和。在矩阵的运算中,我们可以证明迹也满足以下性质:对于两个矩阵a和b的乘积ab来说,有tr(ab) = tr(ba)。这意味着如果矩阵a可逆,则对于任意矩阵b,有tr(ab) = tr(ba)。
根据这两个性质,我们可以推导出可逆矩阵a的秩和迹的关系如下:
假设a为一个n阶方阵,a可逆,即det(a)≠0。由行列式的定义可得,det(a) = λ1 * λ2 * … * λn,其中λ1, λ2, … , λn是a的特征值。
因为a是可逆的,所以λi≠ 0,i=1,2,…,n。考虑迹的定义,tr(a) = λ1 + λ2 + … + λn。
又因为迹对于矩阵乘法满足tr(ab) = tr(ba),所以tr(a * a^-1) = tr(a^-1 * a) = tr(I) = n,其中a^-1是a的逆矩阵,I是单位矩阵。
综上所述,可逆矩阵a的秩和迹的关系是rank(a) = n,tr(a) = n。即可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,迹等于阶数。
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