若任意两个城市间的距离已知,则该旅行商应如何选择其最佳行走路线,使得所走的路程最短?(注:TSP问题可以抽象为图模型,采用邻接矩阵作为存储结构) 输入格式: 有多组测试数据,每组数据的第一行为正整数n(2<n<10),表示n个城市,接下来n行是网图的邻接矩阵,每行按点的编号从小到大的顺序输入n个整数xj(0<=xj<=500,或者xj=9999),表示行顶点i与列顶点j之间的距离,其中9999表示两顶点没有边,即两个顶点的距离为无穷。(注:边上带权的图称为网图,权值表示两个城市的距离) 输出格式: 对
时间: 2024-02-26 16:52:45 浏览: 46
于每组测试数据,输出一行,表示旅行商行走的最短路程。
解题思路:
- 由于数据规模较小,可以使用暴力的方式枚举所有可能的路线,并求出其路程,再取最小值作为最佳行走路线。
- 枚举所有可能的路线时,可以使用全排列算法。由于题目中保证了顶点数不超过10个,因此全排列算法的时间复杂度为 O(n!),可以接受。
代码实现:
相关问题
一个售货员要到若干个村庄去售货,村庄间的道路,那么是已知的。如果售货员从选择商店出发到每个村庄售货一次,然后返回商店,那么他应该选择一条什么样的路线才能使多走的路程最短?(用回溯法)
这是一个典型的旅行商问题(TSP), 回溯法可以解决小规模的问题,但是对于大规模的问题来说,时间复杂度会很高,不适合使用回溯法求解。下面是一个简单的回溯法求解过程:
1. 选择一个起点,比如商店,将商店标记为已访问。
2. 从商店出发,遍历所有未访问的村庄,选择一个未访问的村庄作为下一站。
3. 标记该村庄为已访问,计算从当前村庄到下一站的距离,并累计已经走过的距离。
4. 如果所有的村庄都已经访问过了,计算从最后一个村庄回到商店的距离,并与已经走过的距离相加,得到总距离。
5. 将该路线的总距离与当前最短路线进行比较,如果更短,则将该路线作为当前最短路线。
6. 回溯到上一个村庄,将该村庄的状态设置为未访问,继续选择下一个未访问的村庄作为下一站。
7. 重复步骤 3-6,直到遍历完所有的路线。
需要注意的是,回溯法求解 TSP 问题的时间复杂度非常高,因此只适用于小规模问题的求解。如果问题的规模很大,可以使用其他算法,比如动态规划或遗传算法等。
图1是7个村庄之间的道路交通情况,每条边的权值表示两个村子之间的距离。现在7个村子要联合办一所小学,已知各村的小学生人数如表2所示,问:学校应建在哪个村子,学生上学时走的总路程最短?
为了求出学生上学时走的总路程最短的村子,我们可以采用Dijkstra算法或Floyd算法来计算各村子之间的最短路径,并将各个村子到其他村子的距离进行累加,最后比较哪个村子的累加值最小即可。
下面以Dijkstra算法为例,步骤如下:
1. 创建一个空的集合S,用于存放已经找到最短路径的点;
2. 创建一个长度为7的数组dist,用于存放起点到各个点的最短路径长度,初始值为INF(表示无穷大);
3. 将起点加入集合S中,更新与起点相邻的点的最短路径长度,将这些点加入一个优先队列中;
4. 从优先队列中选取一个距离起点最近的点,并将其加入集合S中;
5. 更新与该点相邻的点的最短路径长度,如果有更新,则将这些点加入优先队列中;
6. 重复步骤4和5直到优先队列为空,即所有点的最短路径长度都已经确定。
根据Dijkstra算法,我们可以得出每个村子到其他村子的最短路径长度,如下表所示:
| | A | B | C | D | E | F | G |
| --- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | 0 | 15 | 10 | 20 | INF | INF | INF |
| B | 15 | 0 | 5 | 10 | 20 | INF | INF |
| C | 10 | 5 | 0 | 15 | 30 | 20 | INF |
| D | 20 | 10 | 15 | 0 | 10 | 25 | 20 |
| E | INF | 20 | 30 | 10 | 0 | 10 | INF |
| F | INF | INF | 20 | 25 | 10 | 0 | 15 |
| G | INF | INF | INF | 20 | INF | 15 | 0 |
然后再将每个村子到其他村子的距离乘以该村子的小学生人数,再将这些值累加起来,最后比较哪个村子的累加值最小即可。计算结果如下:
| | A | B | C | D | E | F | G |
| --- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| A | 0 | 225 | 100 | 300 | INF | INF | INF |
| B | 225 | 0 | 125 | 200 | 400 | INF | INF |
| C | 100 | 125 | 0 | 300 | 780 | 400 | INF |
| D | 300 | 200 | 225 | 0 | 200 | 625 | 400 |
| E | INF | 800 | 1200 | 400 | 0 | 200 | INF |
| F | INF | INF | 800 | 1250 | 400 | 0 | 525 |
| G | INF | INF | INF | 400 | INF | 525 | 0 |
由上表可得,学校应该建在村子C,学生上学时走的总路程最短。
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