给出逻辑回顾 二元分类的基本推导过程

假设有一个二元分类问题，其中样本数据集为 $D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)\}$，其中 $x_i\in R^d$ 为第 $i$ 个样本的特征向量，$y_i\in\{0,1\}$ 为第 $i$ 个样本的类别标记，$0$ 表示负样本，$1$ 表示正样本。

逻辑回归的目标是学习一个分类器，将样本分类到正确的类别中。假设特征向量 $x$ 对应的分类器为 $f(x)$，则我们可以使用 sigmoid 函数将分类器的输出值映射到 $[0,1]$ 的区间内，即：

$$
p(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{-f(x)}}
$$

其中 $p(y=1|x)$ 表示在给定特征向量 $x$ 的情况下，样本为正样本的概率。

为了求解分类器的参数，我们需要定义一个损失函数，常用的损失函数是交叉熵损失函数，即：

$$
\mathcal{L}(f)=\sum_{i=1}^n[y_i\log(p_i)+(1-y_i)\log(1-p_i)]
$$

其中 $p_i=p(y=1|x_i)$ 表示在给定特征向量 $x_i$ 的情况下，第 $i$ 个样本为正样本的概率。

我们的目标是最小化损失函数 $\mathcal{L}(f)$，可以使用梯度下降等优化算法求解分类器的参数。具体地，我们需要求解参数向量 $\boldsymbol{w}$ 和偏置项 $b$，使得损失函数 $\mathcal{L}(f)$ 最小化。参数的更新方式可以使用如下公式：

$$
\boldsymbol{w}_{t+1}=\boldsymbol{w}_t-\eta\frac{\partial\mathcal{L}(f)}{\partial\boldsymbol{w}}|_{\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}_t}
$$

$$
b_{t+1}=b_t-\eta\frac{\partial\mathcal{L}(f)}{\partial b}|_{b=b_t}
$$

其中 $\eta$ 表示学习率，$\frac{\partial\mathcal{L}(f)}{\partial\boldsymbol{w}}$ 和 $\frac{\partial\mathcal{L}(f)}{\partial b}$ 分别表示损失函数 $\mathcal{L}(f)$ 对参数向量 $\boldsymbol{w}$ 和偏置项 $b$ 的偏导数。

最后，我们可以使用学习到的分类器进行预测，即对于给定的特征向量 $x$，如果 $p(y=1|x)\geq 0.5$，则预测为正样本，否则预测为负样本。