已知直径为1的单位长度的圆柱梁，要求将它制成矩形截面梁，满足重量最轻和强度最大的条件，试确定矩形截面尺寸。要求建立该问题的优化数学模型并写出Matlab求解过程和结果。

要解决这个问题，我们可以考虑两个方面：材料的重量（面积乘以密度）和梁的抗弯强度（通常用Izz、A和E表示，其中Izz是惯性矩，A是截面积，E是杨氏模量）。目标是在体积不变的情况下，找到使得重量最轻（即面积最小）且强度最大的矩形截面。

数学模型可以建立如下的线性规划问题：

设矩形截面的长为x，宽为y，则有：
1. 截面积约束：xy = 圆柱直径^2（因为截面积等于圆面积）
2. 强度约束：Iyy = (y^3 * x) / 12（矩形梁的惯性矩）
强度要求：Iyy >= (M * L^3) / (48 * E)，其中M是最大弯矩，L是梁的有效长度（可以根据实际情况计算），E是杨氏模量。

权重函数W = k1 * A + k2 * (1/Iyy)，其中k1和k2是权重系数，我们希望A最小，(1/Iyy)最大。为了同时优化这两个目标，我们可以取对数形式并转换成标准形式的线性规划问题。

在MATLAB中，我们可以使用`linprog`函数来解决这个优化问题，假设k1、k2、M、L已知以及E为常数：

% 定义变量和常数
x = optimvar('x', 'LowerBound', 0); % 矩形长
y = optimvar('y', 'LowerBound', 0); % 矩形宽
A = x*y; % 截面积
Iyy = y^3*x/12; % 惯性矩

% 目标函数
obj = k1*log(A) + k2*log(1/Iyy);

% 构建线性规划模型
model = maximize(obj);
constr = [x*y == pi^2, Iyy >= (M*L^3) / (48*E)]; % 初始约束

% 解决优化问题
[sol, fval] = linprog([], constr, [], model, [x, y], [], [], []);
[x_opt, y_opt] = sol.x;

% 结果显示
disp(['最优矩形尺寸：长 = ', num2str(x_opt), ', 宽 = ', num2str(y_opt)]);
disp(['最小重量：', num2str(fval)]);

运行此代码后，会得到优化后的矩形尺寸及其对应的重量。请注意，实际应用中可能需要根据实际情况调整权重系数k1和k2，以及弯曲强度相关的物理参数。