用numpy写个rpca

RPCA（Robust Principal Component Analysis）是一种基于矩阵分解的方法，用于分解一个矩阵为低秩矩阵和稀疏矩阵的和。下面是使用numpy实现RPCA的代码：

import numpy as np

def rpca(X, lmbda=1 / np.sqrt(np.max(X.shape))):
    """
    Robust Principal Component Analysis
    :param X: 输入矩阵
    :param lmbda: 参数λ
    :return: 低秩矩阵L和稀疏矩阵S
    """
    m, n = X.shape
    Y = X / np.sqrt(m)
    norm_two = np.linalg.norm(Y, 2)
    norm_inf = np.linalg.norm(Y, np.inf) / lmbda
    dual_norm = np.max([norm_two, norm_inf])
    Y /= dual_norm

    L = np.zeros((m, n))
    S = np.zeros((m, n))
    mu = 1.25 / norm_two
    rho = 1.5
    max_iter = 1000
    tol = 1e-7

    for i in range(max_iter):
        L = svd_threshold(X - S + (1 / mu) * Y, 1 / mu)
        S = soft_threshold(X - L + (1 / mu) * Y, lmbda / mu)
        Z = X - L - S
        Y += mu * Z
        mu *= rho
        err = np.linalg.norm(Z, 'fro') / norm_two
        if err < tol:
            break

    return L, S

def svd_threshold(X, tau):
    U, S, V = np.linalg.svd(X, full_matrices=False)
    return U @ soft_threshold(S, tau) @ V

def soft_threshold(X, tau):
    return np.sign(X) * np.maximum(np.abs(X) - tau, 0)

其中，`svd_threshold`函数是对奇异值进行软阈值处理，`soft_threshold`函数是对元素进行软阈值处理。在RPCA算法中，使用了两个参数λ和μ，λ用于控制稀疏矩阵的稀疏度，μ用于控制每次迭代的步长。在代码中，λ的默认值是1/√max(m,n)，μ的初始值是1.25/||X||2，每次迭代乘以1.5进行更新。