怎么证明构造的那个子群是唯一的
时间: 2024-01-24 17:18:28 浏览: 22
要证明构造的子群是唯一的,需要证明两个方面:
1. 证明这个子群确实是一个子群;
2. 证明如果存在另一个子群,它也必须是我们构造的那个子群。
对于第一个方面,我们需要验证这个子群满足群的四个公理:
1. 封闭性:任意两个元素的乘积仍然属于这个子群。
2. 结合律:任意三个元素的乘积的顺序不影响结果。
3. 单位元素:这个子群中存在一个元素,使得其与任意一个元素的乘积都等于这个元素本身。
4. 逆元素:这个子群中的每个元素都有一个逆元素,使得其与该元素的乘积等于单位元素。
这些公理可以通过对构造的子群进行计算和验证来证明。
对于第二个方面,我们需要证明如果存在另一个子群,那么这个子群必须包含我们构造的子群中的所有元素,即这个子群是我们构造的子群的超集。这可以通过反证法来证明:如果存在另一个子群,但不包含我们构造的子群中的所有元素,那么我们构造的子群就不可能是最小的子群,这与我们的构造矛盾。
综上所述,我们可以证明我们构造的子群是唯一的。
相关问题
构造方法是唯一确定的 不能进行重载操作吗
构造方法是可以进行重载操作的。
在Java中,构造方法是一种特殊的方法,它的作用是初始化对象的状态,可以在构造方法中进行一些必要的操作,例如初始化对象的属性,执行一些必要的检查等等。一个类可以定义多个构造方法,只要它们的参数列表不同即可。
当我们使用new关键字创建一个对象时,Java会根据传入的参数类型来自动调用相应的构造方法。如果我们定义了多个构造方法,Java会根据参数列表的类型和数量来选择调用哪个构造方法。
例如,假设我们有一个名为Person的类,它有两个构造方法,分别如下:
```
public class Person {
private String name;
private int age;
// 构造方法1
public Person(String name) {
this.name = name;
}
// 构造方法2
public Person(String name, int age) {
this.name = name;
this.age = age;
}
// getter和setter方法
public String getName() {
return name;
}
public void setName(String name) {
this.name = name;
}
public int getAge() {
return age;
}
public void setAge(int age) {
this.age = age;
}
}
```
在上述例子中,我们定义了两个构造方法,一个只有一个String类型的参数,另一个有一个String类型和一个int类型的参数。这两个构造方法都可以用来创建一个Person对象,只不过传入的参数不同。
当我们使用new关键字创建一个Person对象时,Java会根据传入的参数类型来自动调用相应的构造方法。例如,如果我们使用以下代码创建一个Person对象:
```
Person p1 = new Person("Tom");
```
Java会自动调用只有一个String类型参数的构造方法来创建该对象。而如果我们使用以下代码创建一个Person对象:
```
Person p2 = new Person("Jerry", 25);
```
Java会自动调用一个String类型和一个int类型参数的构造方法来创建该对象。因此,构造方法是可以进行重载操作的。
<G,*>是n阶循环群,a是生成元,证明:对于任意n的因子d,唯一存在G的d阶子群
首先,对于任意n的因子d,我们可以构造一个d阶子群H,使得H={a^i | i=0,1,...,(n/d)-1}。显然,H中的元素互不相同且H是G的子集,因此只需要证明H是一个子群即可。
首先,H中的单位元为a^0=1。其次,对于H中的任意两个元素a^i和a^j,它们的乘积为a^(i+j),由于G是循环群,因此i+j对n取模后得到的结果也在H中,即a^(i+j)∈H。再次,对于H中任意一个元素a^i,它的逆元为a^(n-i),因为a^(i+(n-i))=a^n=1,因此a^(n-i)是a^i的逆元且也在H中。
因此,H满足群的四个条件,即H是G的子群,同时由于d是n的因子,因此H的阶数即为d。因此,对于任意n的因子d,唯一存在G的d阶子群H,而且H就是我们构造的那个子群。
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