一个奇异的三位数。一个自然数的七进制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进制表示也是一个三位数，且这两个三位数的数码顺序正好相反，求这个三位数。

### 回答1：
这个奇异的三位数是 $216$。

首先，我们可以列出 $216$ 的七进制和九进制表示：

$216_{10} = 102_7 = 240_9$

其中，下标表示进制。

我们发现，$102_7$ 和 $240_9$ 的数码顺序正好相反，因此 $216$ 是一个符合条件的三位数。

### 回答2：
假设这个三位数的各个数位上的数字分别为$a$，$b$，$c$，根据题目所给的条件，可以列出如下两个方程：

$7^2a+7b+c=9^2c+9b+a$

$100a+10b+c=81c+9b+a$

化简这两个方程，可以得到：

$48a=80c+8b$

$99a=72c+8b$

将两个方程相减，可以得到：

$51a=8c$

因为$a$是一个自然数，且$a$，$b$，$c$均为七进制和九进制下的三位数，因此$a$只能等于$1$。

将$a=1$代入其中一个方程即可求得$c=6$，$b=5$。

因此，这个奇异的三位数为$156$。

### 回答3：
首先根据题意，这个自然数在七进制下是一个三位数，因此$7^2=49$为这个自然数的最大数位权，所以它不能超过$6\times 49+6\times 7+6=369$。同样地，这个自然数在九进制下也是一个三位数，因此$9^2=81$为这个自然数的最大数位权，所以它不能超过$8\times 81+8\times 9+8=728$。

由于这个自然数的七进制和九进制的表达式的数码顺序相反，可设该自然数为$abc$，其中$a,b,c$表示该自然数在七进制和九进制下的最高位、次高位和最低位数字。则它在七进制下的数值为$49a+7b+c$，在九进制下的数值为$81a+9b+c$。由于这两个三位数的数码顺序正好相反，所以它们也正好交换了它们在七进制和九进制下的最高位和最低位数字，即有$a=c$。

因此，我们得到了以下方程组：

$\begin{cases}49a+7b+c=81c+9b+a \\ a=c\end{cases}$

将$a=c$代入第一个方程得：

$48a+6b=80c$

将两边同时除以$2$得：

$24a+3b=40c$

因为$40$不是$3$的倍数，所以$b$必须是$3$的倍数。由于$b$是一个七进制和九进制下的数字，所以只能是$0$或$3$。因此，我们可以列出$b=3$的情况：

$\begin{cases}24a+9=40c \\ a=c\end{cases}$

将$a=c$代入第一个方程得：

$15a+3=25c$

因为$25$不是$3$的倍数，所以$15a$必须是$3$的倍数，即$a$为$0$或$5$。代入得到$c=1$或$c=3$。因此，当$b=3$时，可能的三位数为$151$或$353$。

同理，我们可以列出$b=0$的情况：

$\begin{cases}24a=40c \\ a=c\end{cases}$

显然，$a$必须是$0$或$5$。代入得到$c=0$或$c=2$。因此，当$b=0$时，可能的三位数为$050$或$252$。

综上所述，可能的奇异的三位数为$050$、$151$、$252$和$353$。