Tikhonov正则化详解 MATLAB代码

### Tikhonov 正则化详解

#### 定义与原理
Tikhonov正则化是一种用于解决病态线性方程组的方法，其核心在于通过引入额外项来稳定解的过程。具体而言，在标准最小二乘问题 \( \text{min} ||Ax - b||_2^2 \) 的基础上增加了一个惩罚项 \( \lambda^2 ||Lx||_2^2 \)，其中\( L \) 是一个选定的矩阵，通常取为单位阵或微分算子等形式[^2]。

这种技术不仅能够有效防止过拟合现象的发生，还特别适用于处理那些系数矩阵接近奇异的情况，从而提高了数值计算稳定性[^3]。

#### 实现方式对比
当面对大规模数据集时，直接采用高斯消元法求解可能会遇到性能瓶颈。相比之下，迭代方法如雅可比迭代法或是高斯-赛德尔方法可以显著减少内存占用并加快收敛速度[^1]。

### MATLAB 实现代码示例

下面给出一段简单的MATLAB程序，展示了如何利用Tikhonov正则化来进行滤波降噪：

function x = tik_reg(A, b, lambda)
    % A: 系数矩阵
    % b: 右端向量
    % lambda: 正则参数
    
    n = size(A, 2);
    I = eye(n);  % 单位矩阵
    x = (A' * A + lambda^2 * I) \ (A' * b);
end

此函数接受三个输入参数：`A`, `b` 和正则化因子 `lambda`. 输出的是经过正则化后的最优解 `x`.

为了进一步优化效率，建议在实际应用中考虑结合高效的稀疏矩阵存储格式以及合适的预条件器来加速求解过程.