matlab 汉明码编码解码

### MATLAB 中实现汉明码的编码和解码

#### 3.1 汉明码简介
汉明码是一种线性分组码，能够检测并纠正单个比特错误。其基本原理是在原始数据中插入若干校验位，使得接收端可以通过这些校验位判断是否存在错误以及定位错误位置。

#### 3.2 MATLAB 实现汉明码编码

在MATLAB环境中，可以利用矩阵运算方便地完成汉明码的编码操作。下面是一个简单的例子：

function encoded = hammingEncode(dataBits, n)
    % dataBits 是输入的数据位向量
    % n 表示 (n,k) 汉明码
    
    k = length(dataBits);  % 数据长度
    H = hadamard(n);       % 构造Hadamard矩阵作为生成矩阵的一部分
    G = [eye(k), H(1:k, 1:n-k)];  % 组合生成矩阵G=[Ik|A]

    % 将dataBits转换成列向量并与生成矩阵相乘得到编码后的序列
    encoded = mod(G * dataBits', 2)';
end

此函数接受待发送的信息比特串`dataBits`及其对应的汉明参数`n`，返回经过编码之后的新消息比特流`encoded`[^4]。

#### 3.3 MATLAB 实现汉明码解码

当接收到可能含有噪声干扰的消息时，我们需要对其进行解码以恢复原始信息。以下是基于综合症计算方法的一个简单实例:

function decodedData = hammingDecode(receivedCodeword, n)
    % receivedCodeword 接收方获得的含噪信道输出字
    % n 表示 (n,k) 汉明码
    
    r = log2(n + 1);
    parityCheckMatrix = dec2bin([0:(2^r)-1]', r) - '0';
    
    syndrome = mod(parityCheckMatrix' * receivedCodeword', 2);

    [~, errorPosition] = max(syndrome ~= 0);
    
    correctedWord = receivedCodeword;
    if errorPosition > 0 && errorPosition <= numel(correctedWord)
        correctedWord(errorPosition) = ~correctedWord(errorPosition);
    end
    
    % 提取有效载荷部分即原信息bit
    infoBitIndices = setdiff((1:numel(correctedWord)), find(mod(0:numel(correctedWord)-1, r+1)==0));
    decodedData = correctedWord(infoBitIndices);
end

上述代码实现了对接收到的汉明编码头部进行奇偶校验，并尝试修复任何发现的单一比特翻转错误。最后提取出无错的有效负载信息bits `decodedData`[^3]。